Question

Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках a (–5; –2), b (–1; 1), c (3; –2), d (–1; –4).

Answer 1

Обозначим два вектора: a=AB и b=AD

1)Найдем координаты ветора a

$a=AB=[X_{B}-X_{A};Y_{B}-Y_{A}]=[-1+5;1+2]=[4;3]$

2)Найдем координаты вектора b

$b=AD=[X_{D}-X_{A};Y_{D}-Y_{A}]=[-1+5;-4+2]=[4;2]$

3)Площадь четырехугольника будет являтся модулем векторного произведениея $[a\times b]\\ S=[a \times b] = |a||b| sin(a;b)$

Построив,увидим,что четырехугольник - ромб.Соответственно все углы по 45 градусов

$S=|a||b|sin45=|a||b|\frac{\sqrt{2}}{2}$

4)Найдем модули векторов

$|a|=\sqrt{x^2 +y^2}=\sqrt{4^2 +3^2} =\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 \\ |b|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=\sqrt{5*4}=2\sqrt{5}$

$|a||b|=5*2\sqrt{5}=10\sqrt{5}$

5)$S=10\sqrt{5} * \frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{5*2}=5\sqrt{10}$

ответ:$S=5\sqrt{10}$