Question

Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: а) х² - 6х -16 = 0;
б) 3х² - 5х - 2 = 0.

Answer 1

a) Решим уравнение х² - 6х -16 = 0.

1. Используя формулу дискриминанта, находим его значение:
D = b² - 4ac
D = (-6)² - 4 * 1 * (-16)
D = 36 + 64
D = 100

2. После вычисления значения дискриминанта, можем приступить к нахождению корней уравнения.
Корни уравнения могут быть либо два различных числа, либо одно число (если D = 0), либо нет действительных корней (если D < 0).

Находя корни, мы используем формулу Виета, которая говорит, что сумма корней равна -b/a, а произведение корней равно c/a.

Таким образом,
x₁ + x₂ = -b/a
x₁ * x₂ = c/a

3. Применяем формулу Виета для нахождения суммы и произведения корней:
x₁ + x₂ = -(-6)/1
x₁ + x₂ = 6

x₁ * x₂ = -16 / 1
x₁ * x₂ = -16

4. Теперь можем перейти к решению уравнения.
В данном случае, так как у нас значение D = 100 и D > 0, уравнение имеет два действительных корня.

x₁,₂ = (-b ± √D) / (2a)

x₁ = (-(-6) + √100) / (2*1)
x₁ = (6 + 10) / 2
x₁ = 16 / 2
x₁ = 8

x₂ = (-(-6) - √100) / (2*1)
x₂ = (6 - 10) / 2
x₂ = -4 / 2
x₂ = -2

5. Проверим найденные корни по теореме Виета.
x₁ + x₂ = 8 + (-2) = 6 (согласуется с предыдущим вычислением)
x₁ * x₂ = 8 * (-2) = -16 (согласуется с предыдущим вычислением)

Таким образом, корни уравнения х² - 6х -16 = 0 равны x₁ = 8 и x₂ = -2.

б) Решим уравнение 3х² - 5х - 2 = 0.

1. Вычислим дискриминант:
D = b² - 4ac
D = (-5)² - 4 * 3 * (-2)
D = 25 + 24
D = 49

2. Найдем корни уравнения:
x₁ + x₂ = -b/a
x₁ + x₂ = 5/3

x₁ * x₂ = c/a
x₁ * x₂ = -2/3

3. Применяем формулу для нахождения корней:
x₁,₂ = (-b ± √D) / (2a)

x₁ = (5 + √49) / (6)
x₁ = (5 + 7) / 6
x₁ = 12 / 6
x₁ = 2

x₂ = (5 - √49) / (6)
x₂ = (5 - 7) / 6
x₂ = -2 / 6
x₂ = -1/3

4. Проверяем корни по теореме Виета:
x₁ + x₂ = 2 + (-1/3) = 5/3 (согласуется с предыдущим вычислением)
x₁ * x₂ = 2 * (-1/3) = -2/3 (согласуется с предыдущим вычислением)

Таким образом, корни уравнения 3х² - 5х - 2 = 0 равны x₁ = 2 и x₂ = -1/3.