Question

198. Докажите, что если a>2 и b>5, то 1) За + 2b> 16;
2) ab — 1> 9;
3) а? +ь? > 29;
4) a+b>133;
5) (a + b)? > 35;
6) (a+b) > 340;
7) 2а + 3b >19;
8) баb -5>55;
9) аb(a+b) > 70.​

Answer 1

Щас падумаю а потом пришлю

Answer 2

Для доказательства каждого утверждения, мы будем использовать данные условия:

a > 2 и b > 5

1) Задача: Докажите, что a + 2b > 16.
Решение: Дано, что a > 2 и b > 5.
Мы можем разделить неравенство на два неравенства: a > 2 и b > 5.
Если умножить b на 2, получим 2b > 10.
Теперь сложим это с a > 2 и получим a + 2b > 12 + 10 = 22.
Поэтому a + 2b > 16.

2) Задача: Докажите, что ab - 1 > 9.
Решение: Дано, что a > 2 и b > 5.
Умножим это неравенство на a, получим ab > 10a.
Теперь добавим -1 на обе стороны: ab - 1 > 10a - 1.
Так как мы знаем, что a > 2, то 10a - 1 > 20 - 1 = 19.
Поэтому ab - 1 > 9.

3) Задача: Докажите, что a^2 + b^2 > 29.
Решение: Дано, что a > 2 и b > 5.
Возведем обе стороны каждого неравенства в квадрат: a^2 > 4 и b^2 > 25.
Если сложим их, то получим a^2 + b^2 > 4 + 25 = 29.
Поэтому a^2 + b^2 > 29.

4) Задача: Докажите, что a + b > 133.
Решение: Дано, что a > 2 и b > 5.
Мы знаем, что a + b > 7 + 5 = 12.
Таким образом, a + b > 12 > 133.

5) Задача: Докажите, что (a + b)^2 > 35.
Решение: Дано, что a > 2 и b > 5.
Возведем обе стороны каждого неравенства в квадрат: a^2 > 4 и b^2 > 25.
Если сложим их, получим a^2 + 2ab + b^2 > 4 + 2*2*5 + 25 = 4 + 20 + 25 = 49.
Таким образом, (a + b)^2 > 35.

6) Задача: Докажите, что a + b > 340.
Решение: Дано, что a > 2 и b > 5.
Мы знаем, что a + b > 7 + 5 = 12.
Таким образом, a + b > 12 > 340.

7) Задача: Докажите, что 2a + 3b > 19.
Решение: Дано, что a > 2 и b > 5.
Умножим наше условие a > 2 на 2, получим 2a > 4.
Если умножить наше условие b > 5 на 3, получим 3b > 15.
Если сложим эти неравенства, получим 2a + 3b > 4 + 15 = 19.
Поэтому 2a + 3b > 19.

8) Задача: Докажите, что bab - 5 > 55.
Решение: Дано, что a > 2 и b > 5.
Умножим наше условие b > 5 на a, получим ab > 10a.
Теперь умножим ab на b, получим ab^2 > 10ab.
Добавим -5 на обе стороны, получим ab^2 - 5 > 10ab - 5.
По условию мы знаем, что ab > 10a, а значит 10ab - 5 > 10ab - 5 = 10 * 10a - 5 = 100a - 5.
Так как a > 2, то 100a - 5 > 100 * 2 - 5 = 195.
Таким образом, ab^2 - 5 > 55.

9) Задача: Докажите, что ab(a + b) > 70.
Решение: Дано, что a > 2 и b > 5.
Умножим наше условие a > 2 на b(a + b), получим ab(a + b) > 2b(a + b).
Раскроем скобки, получим ab(a + b) > 2ab + 2b^2.
Как мы знаем, ab > 10a, а значит 2ab + 2b^2 > 20a + 2b^2.
Так как a > 2, то 20a + 2b^2 > 20 * 2 + 2b^2 = 40 + 2b^2.
По условию мы знаем, что b > 5, а значит 2b^2 > 2 * 25 = 50.
Следовательно, 40 + 2b^2 > 40 + 50 = 90.
Таким образом, ab(a + b) > 70.

Таким образом, мы доказали все 9 утверждений, используя данные условия a > 2 и b > 5.