Рассмотрим несколько случаем. На месте четной цифры мы будем писать Ч, на месте нечетной - Н. Тот факт, что число нечетное, означает, что последняя цифра у числа нечетная.
1) Число имеет вид ЧЧН. Поскольку на первом месте не может стоять 0, на первое место претендуют 3 цифры - 2, 4, 6. На второе место претендуют 4 цифры - 0, 2, 4, 6 (а если цифры не должны повторяться, то 3 цифры). На третье место претендуют 4 цифры - 3, 5, 7, 9.
Всего получается 3·4·4=48 чисел (при второй интерпретации условия 3·3·4=36 чисел).
2) ЧНН. Здесь аналогично получается 3·4·4=48 чисел (или 3·4·3=36).
3) НЧН. Здесь 4·4·4=64 чисел (или 4·4·3=48).
4) ННН. Здесь 4·4·4=64 числа (или 4·3·2=24)
Суммарно получаем 48+48+64+64=224 чисел - если повторения цифр допускаются (или 36+36+48+24= 144 чисел если все цифры должны быть разные).
Замечание. Если цифры могут совпадать, задачу можно сделать проще . На первом место может стоять любая из цифр, кроме 0 - всего 7 вариантов. На втором месте может стоять любая цифра - всего 8 вариантов. На третьем месте может стоять любая из нечетная цифра - 4 варианта. Всего получаем 7·8·4=224 числа.
ответ: 224 чисел, в которых возможно совпадение цифр, и 144 числа, в которых все цифры разные.
ответ:5
Объяснение:
Покажем, что Петино множество не может содержать больше, чем 5 элементов. От противного: пусть множество содержит не менее 6 элементов. Упорядочим эти элементы по неубыванию модулей:
|a1|≤|a2|≤...≤|a6|.
Отметим, что среди элементов a2, a3… a6 не может встретиться 0.
Для любой четвёрки a, b, c, d,, являющейся выборкой из элементов a2, a3… a6, справедливо неравенство
abcd≤a41.
При этом, так как среди элементов a2, a3… a6 существует не более одного, совпадающего с a1 по модулю, мы получаем
a41<|abcd|.
Выберем четвёрку a, b, c, d, так, чтобы abcd=|abcd|.
Если среди элементов a2, a3… a6 нет отрицательных, то в качестве a, b, c, d, подойдут любые из этих элементов. Если среди элементов a2, a3… a6 есть ровно 1 отрицательный, то в качестве a, b, c, d, подойдут оставшиеся положительные элементы. Если среди элементов a2, a3… a6 есть ровно 2 или 3 отрицательных, то в качестве a, b, c, d, подойдут 2 отрицательных и 2 положительных элемента. Если же среди элементов a2, a3… a6 существует не менее 4 отрицательных, то в качестве a, b, c, d, подойдут любые 4 отрицательных элемента из a2, a3… a6.
Таким образом, мы нашли такие a, b, c, d,, для которых выполняется равенство abcd=|abcd|.
Но тогда abcd<a41<|abcd|=abcd.
Тем самым мы получили противоречие. Значит, Петино множество состоит не более, чем из 5 целых чисел.
Указанный пример показывает, что Петино множество с 5 элементами существует:
1, 2, 3, 4, −5.