Question

Не определяя корней х1, х2 уравнения х² + 8х -1- 0, найдите значение выражения:
1) х1² + х2²
2) x1 x2³+x2 x1³
3)x1/x2+x2/x1 ( /-не знак деления, это дроби)
4) x1⁴+х2⁴.​

решите желательно по теореме Виета

Answer 1

Для решения этой задачи вам потребуется использовать формулы Виета.

Формулы Виета связывают коэффициенты квадратного уравнения x² + bx + c = 0 с его корнями x₁ и x₂. Формулы выглядят следующим образом:

1) Сумма корней: x₁ + x₂ = -b
2) Произведение корней: x₁ * x₂ = c

У нас дано уравнение x² + 8x - 1 = 0, поэтому значение коэффициентов a, b и c для этого уравнения равны:
a = 1, b = 8, c = -1.

Для начала найдем сумму и произведение корней:
1) Сумма корней: x₁ + x₂ = -b = -8
2) Произведение корней: x₁ * x₂ = c = -1

Теперь давайте найдем значения выражений, используя найденные значения корней:

1) x₁² + x₂²:
Мы знаем, что (x₁ + x₂)² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂². Подставим значения: (-8)² = 64.
В то же время, мы знаем, что x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂. Подставим значения: 64 - 2 * (-1) = 66.
Ответ: 66.

2) x₁x₂³ + x₂x₁³:
Мы знаем, что x₁x₂³ + x₂x₁³ = (x₁x₂)(x₁² + x₂² - x₁x₂).
Подставим значения: (-1)(66 - (-1)) = -67.
Ответ: -67.

3) x₁/x₂ + x₂/x₁:
Можно прийти к ответу с использованием формулы Виета:
(x₁/x₂ + x₂/x₁) = (x₁² + x₂²)/(x₁x₂). Исходя из формул Виета, у нас есть значения для x₁² + x₂² = 66 и x₁x₂ = -1.
Подставим значения: 66 / (-1) = -66.
Ответ: -66.

4) x₁⁴ + х₂⁴:
Мы знаем, что x₁⁴ + x₂⁴ = (x₁² + x₂²)² - 2x₁²x₂².
Подставим значения: (66)² - 2 * 1 = 4332.
Ответ: 4332.

Таким образом, ответы на задачу выглядят следующим образом:
1) 66.
2) -67.
3) -66.
4) 4332.

Спасибо, что обратились, и удачи вам! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.