7.1 Вася и Толя обменялись значками. До обмена у Васи было на 5 значков больше, чем у Толи. По- сле того, как Вася обменял 24% своих значков на 20% значков Толи, у Васи стало на один зна- чок меньше, чем у Толи. Сколько значков было у мальчиков до обмена? ответ. У Толи было 45 значков, у Васи – 50 значков. Решение. Пусть до обмена у Толи было x значков, тогда у Васи было (x + 5) значков. После обмена у Толи стало 25 6 5 5 x x x , а у Васи 25 5 6 5 5 x x x . Решая уравнение 1, 25 5 6 5 5 25 6 5 5 x x x x x x находим x = 45. 7.2. Существуют ли дробные (нецелые) числа x, y такие, что оба числа 13x 4y и 10x 3y целые? ответ. Не существуют. Решение. Пусть 13x + 4y = m, 10x + 3y = n, где m и n – целые. Решим эту систему уравнений, домножив первое уравнение на 3, а второе – на 4. Вычитая уравнения, получим x = – 3m +4n, т.е. x – целое число. 7.3. Найдется ли среди первых 500 натуральных чисел 1, 2, …, 500 серия, состоящая из подряд иду- щих а) девяти составных чисел; б) одиннадцати составных чисел? ответ: а) да; б) да. Решение. Можно привести искомую серию из 11 составных чисел: 200, 201, …, 210. Объясним сначала, как найти подобную серию из 9 составных чисел. Есть 4 простых числа меньше 10: это 2, 3, 5, 7. Их произведение равно 210. Поэтому при любом целом k каждая из двух серий 210k 2,210k 3,...,210k 10 и 10 210k 2, 210k 3,...,210k состоит из 9 составных чисел. Это отвечает на вопрос пункта а) при k = 1 или 2. Если заметить, что 20911, то получим ответ на вопрос б). 7.4. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и N соответственно. Оказалось, что пе- риметр AMC равен периметру CNA, а периметр ANB равен периметру CMB. Докажите, что ABC равнобедренный. Решение. Будем обозначать периметр буквой P. Из условия задачи имеем P(AMC) + P(CMB) = P(CNA) + P(ANB). Отсюда P(ABC) + 2 CM = P(ABC) + 2 AN. Значит CM = AN. Из этого соотношения, учитывая равенство периметров треугольников AMC и CAN, получим, что AM = NC. Поэтому тре- угольники AMC и CAN равны по трем сторонам. Тогда A = C, значит, ABC равнобедренный.
(2x-1)^2=3x^2-4x+17
4x^2-4x+1=3x^2-4x+17
4x^2-4x+1-3x^2+4x-17=0
x^2-16
x^2=16
x1=4
x2=-4
x^2-2x+1 при x=2013
(x-1)^2=(2013-1)^2=2012^2=4048144
решите неравенство 3х^2-6x+1>либо равно
3х^2-6x+1=> x^2-x-1 3х^2-6x+1-x^2+x+1>=0 2x^2-5x+2>=0 D=(-5)^2-4*2*2=25-16=9=3^2 x1=(-(-5)+3)/2*2=8/4 x1=2 x2=(-(-5)-3)/2*2=2/4 x2=0,5