Question

Известно что при некоторых натуральных значениях n значение выражения n³+n кратно 30. Будет ли кратно 30 при тех же значениях n значение выражения ​

Answer 1

Для решения этой задачи нужно определить, при каких значениях n выражение n³+n будет кратно 30.

Для начала, разложим число 30 на простые множители: 30 = 2 * 3 * 5.

Мы знаем, что если число кратно 30, то оно должно быть кратным каждому из этих простых множителей.

Разберемся по очереди с каждым из множителей.

1) Множитель 2: чтобы число было кратно 2, оно должно быть четным.

Проверим, будет ли n³+n четным при любом натуральном значении n.

Вспомним, что четное число делится на 2 без остатка.

Представим, что n равно 2k, где k — натуральное число. Тогда выражение n³+n можно записать как (2k)³+(2k).

(2k)³ = 8k³, а (2k) = 2k.

Сложим эти два выражения: 8k³+2k = 2(4k³+k).

Выражение 4k³+k является целым числом, поэтому результат выше также является четным числом.

Таким образом, выражение n³+n будет кратно 2 при любом натуральном значении n.

2) Множитель 3: чтобы число было кратным 3, сумма его цифр должна быть кратной 3.

Рассмотрим сумму цифр числа n³+n.

n³ — это число, полученное из числа n возводя его в куб.

Таким образом, сумма цифр n³ будет равна сумме цифр n+n+n.

А сумма цифр n равна самому числу n, поэтому сумма цифр числа n³+n равна 3n.

Таким образом, сумма цифр числа n³+n будет кратна 3 при любом натуральном значении n.

3) Множитель 5: чтобы число было кратно 5, оно должно заканчиваться на 0 или 5.

Рассмотрим последнюю цифру числа n³+n.

n³ — это куб числа n, поэтому последняя цифра числа n³ будет равна последней цифре числа n.

Таким образом, последняя цифра числа n³+n будет равна сумме последней цифры числа n и последней цифры числа n.

Последняя цифра числа n равна n, поэтому последняя цифра числа n³+n будет равна 2n.

Чтобы последняя цифра числа была 0 или 5, необходимо, чтобы 2n было кратно 5.

Кратность 5 достигается, когда n равно 5, 10, 15 и т.д.

Таким образом, последняя цифра числа n³+n будет кратна 5 при значениях n, кратных 5.

Итак, мы установили, что выражение n³+n будет кратно 2, 3 и 5 при любых натуральных значениях n.

Так как наше число должно быть кратным и 2, и 3, и 5 одновременно, оно должно быть кратным их наименьшему общему кратному.

НОК(2, 3, 5) = 30.

Таким образом, при всех натуральных значениях n выражение n³+n будет кратно 30.