Чтобы уравнение kx² + 2(k+1)x+k+3=0 имело 2 корня надо чтоб его дискриминант был положителен, напишем формулу дискриминанта D = b² - 4ac D = (2(k+1))² - 4*1*(k+3) = 4*k² + 8*k + 4 - 4*k - 12 = 4*k² + 4*k - 8 как было сказано - дискриминант должен быть больше нуля 4*k² + 4*k - 8 > 0 разделим на 4 (или преобразуем его к приведенному виду) k² + k - 2 > 0 по теореме Виета корни его -2 и 1т.к. коэффициент при k² положительный ветки параболы смотрят вверх и функция k² + k - 2 меняет знак в своих конях -2 и 1, поэтому D > 0 при k < -2 и k > 1 Уравнение имеет два корня при k < -2 и k > 1
Получили два множителя а² и (а² + 4а - 6)
Можно разбить на множители трёхчлен в скобках
Найдём корни трёхчлена в скобках, а для этого решим квадратное уравнение:
а² + 4а - 6 = 0
D = b² - 4ac
D = 4² - 4 · 1 · (-6) = 16 + 24 = 40
√D = √40 = 2√10
а₁ = (-4-2√10)/2 = - 2- √10
а₂ = (-4 + 2√10)/2 = - 2 + √10
Теперь представим (а² + 4а -6) в виде произведения:
а² + 4а - 6 = (а - (-2 - √10))(а+(-2+√10)) =
= (а+2 +√10)(а - 2 +√10).
И, наконец, получим разложение данного многочлена:
a⁴ + 4a³ - 6a² = а²(а² + 4а - 6) =
= а² · (а+2 +√10) · (а - 2 +√10).