Question

Заданную функцию у = f(x) исследовать на непрерывность и выяснить характер точек разрыва. Сделать схематический график

1) f(x)=6^(1/(4-х))
2)f(x)= система : cos(x), если х<=0
2^х, если 0<х<=2
4, если х>2​

Answer 1

Добрый день! Рассмотрим каждую функцию по отдельности и проведем их анализ на непрерывность.

1) Функция f(x) = 6^(1/(4-x)).

Для того, чтобы узнать, где функция непрерывна, мы должны рассмотреть два случая:
а) Проверить, нет ли разрыва функции внутри области определения (то есть, когда 4-x не равно 0).
б) Установить, является ли функция непрерывной на краях области определения (то есть, когда 4-x равно 0).

а) Проведем проверку разрыва внутри области определения функции. Для этого решим уравнение 4-x = 0. Получим x = 4. Таким образом, разрыва внутри области определения нет.

б) Теперь рассмотрим краевые точки области определения функции. Подставляя значения, близкие к x = 4, мы можем прийти к выводу, что функция будет непрерывна в x = 4.

Таким образом, функция f(x) = 6^(1/(4-x)) будет непрерывной на всей своей области определения.

Теперь построим схематический график функции:

|
|
|
|
|
----------------------+----
|
|
|
|
* x=4
|
|
|
|
|


2) Функция f(x) = система: cos(x), если х<=0; 2^x, если 02.

Анализируем функцию на непрерывность в каждой области определения:

а) Функция cos(x) непрерывна на всей числовой прямой, поэтому она будет непрерывной при х<=0.

б) Функция 2^x ограничена и строго возрастает на своей области определения (0
в) Функция f(x) = 4 есть постоянная функция, а постоянная функция непрерывна на всей числовой прямой. Поэтому функция f(x) = 4 будет непрерывной при x>2.

Таким образом, функция f(x) = система: cos(x), если х<=0; 2^x, если 02 непрерывна на всей своей области определения.

Теперь построим схематический график функции:

4|
|
|
|
|
|
|
--------------------+----
|
* x=2
|
|
|
|
* x=0
-------------------x=0