Question

Найти интервалы возрастания и убывания функции f(x)=2x^3-9x^2+12x-2 найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=2x^3-9x^2+12x-2 на [0;3/2]

Answer 1

Добрый день! Давайте начнем с анализа интервалов возрастания и убывания функции f(x)=2x^3-9x^2+12x-2.

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, нам нужно проанализировать знаки первой производной. Для этого найдем производную функции f'(x).

f'(x) = 6x^2 - 18x + 12

Чтобы найти точки, в которых функция меняет свой знак и, следовательно, интервалы возрастания и убывания, решим уравнение f'(x) = 0.

6x^2 - 18x + 12 = 0

Для удобства дальнейших вычислений, можно поделить это уравнение на 6:

x^2 - 3x + 2 = 0

Факторизуем это уравнение, чтобы найти его корни:

(x - 1)(x - 2) = 0

Таким образом, получаем два корня: x1 = 1 и x2 = 2.

Теперь, используя эти значения, мы можем построить таблицу знаков первой производной и, следовательно, найти интервалы возрастания и убывания функции:

x < 1 1 < x < 2 x > 2
f'(x) < 0 - + +
f'(x) > 0 + + +

Таким образом, функция возрастает на интервале (1, 2) и убывает на интервалах (-∞, 1) и (2, +∞).

Теперь давайте найдем наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=2x^3-9x^2+12x-2 на заданном интервале [0 , 3/2].

Для этого сначала найдем значения функции на концах интервала:

f(0) = 2(0)^3 - 9(0)^2 + 12(0) - 2 = -2

f(3/2) = 2(3/2)^3 - 9(3/2)^2 + 12(3/2) - 2 = 8 - 20.25 + 18 - 2 = 4.75

Теперь, чтобы найти значения функции на интервале (1, 2) мы можем найти значения функции в одной или нескольких точках внутри этого интервала. Для простоты вычислений, мы найдем значение функции в середине интервала, т.е. в точке x = 3/2.

f(3/2) = 2(3/2)^3 - 9(3/2)^2 + 12(3/2) - 2 = 4.75

Теперь сравним все полученные значения функции:

-2 < 4.75

Таким образом, наименьшим значением функции на интервале [0, 3/2] является -2, а наибольшим значением является 4.75.