Question

Исследовать на сходимость числовой ряд:

Answer 1

Известно, что

$\mathrm{arctg}\,x\dfrac x2$

по крайней мере при x принадлежащих интервалу (0, 1)

(Это легко приверить: при таких x функция y=arctg x - x/2 возрастает)

Поэтому можно посмотреть на ряд 

$\dfrac12\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{5+n^2}{n^3+6n}=\dfrac12\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac1n-\dfrac1{n^3+6n}\right)$

Ясное дело, этот ряд расходится. Тогда по признаку сравнения и исходный ряд также расходится.