Чтобы уравнение имело действительное решение , достаточно чтобы дискриминант был неотрицательным.
D/4 = (a^3-b^3)^2 -(a^2-b^2)*(a^4-b^4)>=0
То есть , необходимо доказать , что при любых a и b справедливо строгое неравенство :
(a^3-b^3)^2>=(a^2-b^2)*(a^4-b^4)
(a-b)^2*(a^2+ab+b^2)^2>=(a-b)^2* (a+b)^2 * (a^2+b^2)
Заметим , что когда a=b , получаем что 0=0 , то есть условие выполнено. И в этом случае уравнение имеет бесконечно много решений.
Теперь, поскольку мы разобрали этот случай и (a-b)^2>=0 , то для случая a≠b , можно поделить обе части неравентсва на (a-b)^2 не меняя знак неравенства :
(a^2+ab+b^2)^2>=(a+b)^2*(a^2+b^2)
( a^2+ab+b^2)^2 >= (a^2+2ab+b^2)*(a^2+b^2)
Теперь сделаем слудующий прием , поскольку (a^2+b^2)^2>0 при a≠b≠0
То можно поделить на это выражение обе части неравенства не меняя его знак :
( 1+ ab/(a^2+b^2) )^2>= 1+ 2ab/(a^2+b^2)
Тогда можно сделать замену:
ab/(a^2+b^2)=t
(1+t)^2>=1+2t
t^2+2t+1>=1+2t
t^2>=0 (верно)
Таким образом :
(a^3-b^3)^2>=(a^2-b^2)*(a^4-b^4) , то есть D>=0.
Вывод : уравнение имеет действительное решение при любых действительных а и b.
Что и требовалось доказать.
Стоимость - 720 руб. (вне зависимости от количества экскурсантов)
Участвовали - х чел.
Должны были участвовать - (х+3) чел.
Заплатил каждый - у руб.
Должен был заплатить каждый - (у-40) руб.
{x*y=720 => x=720/y
{(x+3)*(y-40)=720 => xy-40x+3y=840
720y/y*(40*720)/y+3y=840 к общему знаменателю:
720y-28800+3y²=840y
3y²-120y-28800=0 |3
y²-40y-9600=0
D=(-40)²-4*(-9600)=40000 √40000=200
y₁=(40+200)/2=120
y₂=(40-200)/2=-80 - отрицательное число, не соответст. условию
у=120 руб. - каждый экскурсант заплатил за билет
х=720/120=6 чел. - участвовали в экскурсии
ответ: 6 человек
Проверка: (х+3)(у-40)=720
(6+3)(120-40)=720
9*80=720
6<9 на 3
80<120 на 40
ответ:5 в 39 степени
Объяснение: