Question

Складіть квадратне рівняння, корені якого на 3 більші за відповідні корені рівняння х2-2х-7=0

Answer 1

1) Решим наше уравнение: 

$\dispaystyle x^2-2x-7=0\\D=4-4*(-7)=4+28=32\\x_1= \frac{2+ \sqrt{32}}{2}= \frac{2+4 \sqrt{2}}{2}=1+2 \sqrt{2}\\x_2= \frac{2- \sqrt{32}}{2}=1-2 \sqrt{2}$

2) найдем корни нового уравнения при условии что они на 3 больше

$\dispaystyle x_1=1+ 2\sqrt{2} +3=4+2 \sqrt{2}\\x_2=1-2 \sqrt{2}+3=4-2 \sqrt{2}$

3) теперь воспользуемся т. Виетта

$\dispaystyle x^2+px+q=0\\x_1+x_1=-p\\x_1*x_2=q$

$\dispaystyle 4+2 \sqrt{2}+4-2 \sqrt{2}=-p\\8=-p\\p=-8$

$\dispaystyle (4+2 \sqrt{2})*(4-2 \sqrt{2})=q\\4^2-(2 \sqrt{2})^2=q\\16-4*2=q\\8=q$

тогда уравнение примет вид

$\dispaystyle x^2-8x+8=0$

Answer 2

По теореме Виета сумма корней и произведение корней исходного уравнения равны:

$\left \{ {{x_1+x_2=2} \atop {x_1x_2=-7}} \right.$.

Корни уравнения, которое нужно найти, на три больше:

$\left \{ {{t_1=x_1+3} \atop {t_2=x_2+3}} \right. \Rightarrow \left \{ {{t_1+t_2=x_1+x_2+6=2+6=8} \atop {t_1t_2=(x_1+3)(x_2+3)=x_1x_2+ 3(x_1+x_2)+9=-7+6+9=8}} \right.$.

Поэтому по теореме, обратной теореме Виета, $t_1$ и $t_2$
являются корнями уравнения

$t^2-8t+8=0$