Question

Даны два взаимно простых натуральных числа т и n, а также число 0. Имеется калькулятор, который умеет выполнять лишь одну опера­цию: вычисление среднего арифметического двух целых чисел, если они имеют одинаковую четность. Докажите, что при этого калькулятора можно получить все натуральные числа от 1 до n.

Answer 1

Для начала объясним, что значит "два взаимно простых натуральных числа". Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице. Например, числа 5 и 7 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель равен 1.

Теперь предположим, что у нас есть два взаимно простых числа t и n. Наша задача - доказать, что с помощью калькулятора, который умеет находить среднее арифметическое двух чисел с одинаковой четностью, мы можем получить все натуральные числа от 1 до n.

Для начала заметим, что используя калькулятор, мы можем получить все четные числа от 2 до 2t. Действительно, возьмем числа 2 и 2t. Они имеют одинаковую четность, поэтому можем найти их среднее арифметическое: (2 + 2t)/2 = t + 1. Получили число t + 1, которое является четным. Аналогично, можно получить все четные числа от 2 до 2t, увеличивая значение t на 1 каждый раз.

Теперь рассмотрим нечетные числа от 1 до t. Мы знаем, что у нас есть число 0, поэтому можем использовать его и число t, чтобы получить первое нечетное число - (0 + t)/2 = t/2. Затем, используя полученное число t/2 и число t, можем получить следующее нечетное число - (t/2 + t)/2 = (3t/2)/2 = 3t/4. Продолжая этот процесс, каждый раз мы увеличиваем предыдущее число на t/2, получая все нечетные числа от 1 до t.

Итак, мы можем получить все четные числа от 2 до 2t и все нечетные числа от 1 до t. Теперь, чтобы получить все натуральные числа от 1 до n, рассмотрим два случая:

1) Если число n четное, то мы можем получить все четные числа от 2 до n, увеличивая значение t на 1 каждый раз. Затем, используя число t и число n, можем получить первое нечетное число - (t + n)/2, и затем все остальные нечетные числа от 1 до t, увеличивая значение предыдущего полученного нечетного числа на t/2.

2) Если число n нечетное, то мы можем получить все четные числа от 2 до n-1, увеличивая значение t на 1 каждый раз. Затем, используя число t и число n-1, можем получить первое нечетное число - (t + n-1)/2, и затем все остальные нечетные числа от 1 до t, увеличивая значение предыдущего полученного нечетного числа на t/2. Для получения числа n, используем полученное нечетное число n-1 и число 1, так как они имеют одинаковую четность.

Таким образом, мы можем получить все натуральные числа от 1 до n, используя калькулятор, который умеет находить среднее арифметическое двух чисел с одинаковой четностью.