Дано уравнение:
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
а) Для преобразования используем формулу приведения для косинуса и формулу синуса двойного угла:
Тогда cos x = 0 или sin x = 0,5
Решим cos x = 0. Формулы для нахождения корней уравнения вида cos x = a:
Обе формулы можем объединить в одну:
Получим:
Можно записать в виде:
Решим sin x = 0,5. Запишем формулы для нахождения корней уравнения вида sin x = a.
Решением являются два корня (k — целое число):
Получим:
б) Найдём корни уравнения, принадлежащие отрезку.
Суть применяемого заключается в следующем:
1. Берём поочерёдно каждый корень уравнеия.
2. Составляем двойное неравенство.
3. Решаем это неравенство.
4. Находим коэффициент k.
5. Подставляем найденный коэффициент(ты) обратно в выбранный корень и вычисляем.
Так для каждого найденного нами корня. Итак, первый корень:
Решаем неравенство:
Так число k целое, то k1 = 2 k2 = 3
Находим корни, принадлежащие интервалу:
Следующий корень:
Решаем неравенство:
Для полученного неравенства целого числа k не существует.
Следующий корень:
Решаем неравенство:
Так как число k целое, то k = 1.
Находим корень принадлежащий интервалу:
Получили три корня (выделены жёлтым):
*Обратите внимание, что использовали знак нестрого неравенства, так как границы интервала включены (входят) в интервал.
1) f(x) = 1/6 ln(-2x). найти f '(x) ; f '(-1/8)
f '(x) = 1/6 *(-2)/(-2x) = (1/6) *(1/x) = 1/(6x).
f '(-1/8) = (1 /6) * 1/(-1/8) = - (1/6)*8 = - 4/3.
2) f(x) = 2x lnx D(y) = (0; +∞).
f '(x) = 2lnx + 2x/x = 2lnx +2; y ' = 0; lnx = -1; x= e-1 = 1/e - экстремальная точка.
При х > 1/e f '(x)>0, тогда f(x) -возрастает.
При 0< x < 1/e f(x) убывает. \ e-1 /
x=e-1 - точка минимума. f(e-1) = 2e-1 lne-1 = -2/e - минимум функции.