Найдем сначала точки пересечения линий второго порядка
Приравняем правые части уравнений
y =1/(x^2+1) y=x^2/2
1/(1+x^2)=x^2/2
Так как 1+x^2 не равно нулю умножим обе части уравнения на 2(1+x^2)
2 =(1+x^2)*x^2
х^4+x^2-2 =0
Сделаем замену переменных z=x^2
z^2+z-2=0
D =1+8=9
z1=(-1-3)/2=-2 (ответ не подходит так как x^2>0)
z2 =(-1+3)/2=1
x^2=1 x1=-1 x2=1
Получили два предела интегрирования от -1 до 1
интеграл I от -1 до 1I (1/(x^2+1)-(1/2)x^2)dx =(arctgx-(1/6)x^3 Iот -1 до1I=
= arctg(1)-1/6 -(arctg(-1)-(-1)^3/6) = пи/4-1/6+пи/4 -1/6 =пи/2=1,57
S=П/2~1,57
1)
Составим систему неравенств, учитывая каждое ограничение, накладывающееся на аргумент:
Теперь продолжаем решать наше неравенство.
Возведём обе части неравенства в квадрат.
Получаем квадратное неравенство. Чтобы найти нули, приравняем левую часть к 0 и найдём корни квадратного уравнения.
По теореме Виета:
Возвращаемся к неравенству:
Решим его методом интервалов.
Нули: 7; -1.
+ - +
---------------------о------------------------------о-----------------------> х
Получаем, что решением квадратного неравенства являются промежутки
и
. Но не забываем про ограничение
, которое мы вычислили выше.
ответ:
.
2)
Это задание можно решить методом интервалов. Нужно найти нули. С левым множителем понятно, он обращается в 0 при
. Приравняем правый множитель к нулю, чтобы найти его корни.
По теореме Виета:
Применяем метод интервалов для нашего неравенства.
Нули: 1; 2; 3.
+ - - +
---------------
---------------------
---------------------
-------------------> x
Так как знак неравенства
, то нам нужны те промежутки где стоит знак +. Таких два:
и
, но и это ещё не всё. Есть ещё точка
, и она тоже является решением, поскольку при ней выражение обращается в 0.
ответ:
.