Question

Исследовать функции на непрерывность, указать характер точек разрыва : y=x-5/x2-25

Answer 1

Функция
$y= \frac{x-5}{x^2-25} = \frac{x-5}{(x-5)(x+5)}$
определена на всей числовой оси, кроме двух точек: x = -5 и  x = 5.

Найдём односторонние пределы в этих точках.

1) x = -5. Т.к. в этой точке множитель (x-5) не равен нулю, то его можно сократить.
$\lim_{x \to \inft{-5_{-0}}} \frac{x-5}{(x-5)(x+5)} =\lim_{x \to \inft{-5_{-0}}} \frac{1}{x+5} =-\infty \\ \\ \lim_{x \to \inft{-5_{+0}}} \frac{x-5}{(x-5)(x+5)} =\lim_{x \to \inft{-5_{+0}}} \frac{1}{x+5} =+\infty$

Оба односторонних предела бесконечны, значит, функция терпит разрыв II рода в точке x = -5. Кстати, уравнение x = -5 есть уравнение вертикальной асимптоты в точке разрыва.

2) x = 5. В этой точке множитель (x + 5) равен 10.
$\lim_{x \to \inft{+5_{-0}}} \frac{x-5}{(x-5)(x+5)} =\lim_{x \to \inft{+5_{-0}}} \frac{1}{x+5} *\lim_{x \to \inft{+5_{-0}}} \frac{x-5}{x-5}= \\ \\ \frac{1}{10} *1=\frac{1}{10} \\ \\ \lim_{x \to \inft{+5_{+0}}} \frac{x-5}{(x-5)(x+5)} =\lim_{x \to \inft{+5_{+0}}} \frac{1}{x+5} *\lim_{x \to \inft{+5_{+0}}} \frac{x-5}{x-5}= \\ \\ \frac{1}{10} *1=\frac{1}{10}$

В точке x = 5 функция терпит разрыв, т.к. на ноль делить нельзя. Однако односторонние пределы конечны, следовательно, это точка разрыва I рода. При этом односторонние пределы совпадают, справа и слева значение функции бесконечно приближается к 1/10. Значит, этот разрыв устранимый.
Итак, в точке x = 5 функция терпит устранимый разрыв I рода.

Из выше изложенного можно сделать некоторые представления о графике нашей функции. Во-первых, функция слева направо бесконечно убывает, приближаясь к точке х = -5. Во-вторых, справа от точки х = - 5 функция убывает из плюс бесконечности. В точке х = 5 она терпит устранимый разрыв, продолжая дальше убывать.
Найдём горизонтальные асимптоты.
$\lim_{x \to -\infty} \frac{x-5}{(x-5)(x+5)}=\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x+5}= \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x(1+5/x)}= \\ \\ = \frac{1}{-\infty}(1+ \frac{5}{-\infty}} )}=\frac{1}{-\infty}(1+ 0)}=-0 \\ \\ \lim_{x \to +\infty} \frac{x-5}{(x-5)(x+5)}=\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x+5}= \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x(1+5/x)}= \\ \\ = \frac{1}{+\infty}(1+ \frac{5}{+\infty}} )}=\frac{1}{+\infty}(1+ 0)}=+0$

Горизонтальная асимптота y = 0. Функция бесконечно приближается к нулю, влево, в минус бесконечность, снизу, справа, в плюс бесконечность, сверху.

* Функция непрерывна при x ∈(-∞; -5) ∪ (-5; 5) ∪ (5; +∞).
* В точке x = -5 разрыв II рода, в точке x = 5 устранимый разрыв I рода.