1 в. Групі студентів запропоновані спецкурси з мультимедіа, штучному інтелекту і імітаційному моделюванню. 22 студенти записалися на спецкурс з мультимедіа, 18 – на спецкурс зі штучного інтелекту, 10 – на спецкурс з імітаційного моделювання, 8 – на спецкурси з мультимедіа і штучнго інтелекту, 15 – на спецкурси з мультимедіа і імітаційного моделювання, 7 – на спецкурси зі штучного інтелекту і імітаційного моделювання. 5 студентів записалися на усі три спецкурси. Скільки студентів в групі?
1) Если n=25, то 3*25/2 не является целым числом, поэтому в классе не могло быть 25 учеников.
2) Если n=18, то 3*18/2=27. Т.е. должно быть 27 отрезков. Но это еще не доказывает, что 18 точек можно связать 27 отрезками так, что из каждой точки выходит ровно 3 отрезка, поэтому предъявим такое расположение. Поместим точки в вершинах выпуклого 18 угольника, пронумеруем их по порядку от 1 до 18, и нарисуем стороны этого 18-угольника. В результате, каждая его вершина будет связана с двумя соседними, т.е. из каждой вершины выходит ровно 2 отрезка. Осталось соединить вершины 9 диагоналями так, чтобы из каждой вершины выходила ровно одна диагональ. Т.к. количество точек четное, то это возможно: например соединяем точки так: [1,10], [2,11], [3,12],..., [9,18]. Видим, что это действительно дает диагонали, т.к. в каждой паре разница между номерами не равна 1. При этом каждая вершина участвует по одному разу. Понятно, что это работает и для любого четного n.