Задача.
Найдите наименьшее значение функции f(x)= x3 - 3x2- 9x + 31 на отрезке [-1; 4].
Напомним, что любая функция принимает наименьшее или наибольшее значение тогда, когда ее производная равна нулю или не существует.
Найдем производную y´(x) и приравняем ее к нулю.
y´(x)=(x3-3x2-9x+31 )´= 3x2 - 6x - 9 - существует при любых x.
3x2 - 6x - 9=0
Сократим на 3: x2 - 2x - 3=0
D= b2-4ac, D = (-2)2 - 4*1*(-3) = 4 + 12 =16
x1,2= (-b±√D) / 2a,
x1,2= (-(-2) ±√16) / 2*1 = (2±4) / 2 = 3, -1.
x1= -1, x2= 3 - в этих точках функция y(x) принимает наименьшее или наибольшее значение.
Когда производная меньше нуля, функция убывает.
Когда производная больше нуля, функция возрастает.
Посмотрим на знаки производной.
При x<-1 y´(x)>0, функция y(x) возрастает
При -1 <x< 3 y´(x)<0, функция y(x) убывает
При х>3 y´(x)>0, функция y(x) возрастает
На отрезке [-1; 4] функция убывает до точки х=3 и возрастает после нее, значит наименьшее значение в точке 3.
Подставим х=3 в функцию, получаем: y(3) = 33- 3*32- 9*3+ 31= 27-27-27+31= 4, это и будет ответ.
ответ: 4
2. Стихи растут как звезды и как розы - как красота, ненужная в семье (М.Цветаева).
3. Звезде его все словеса - как дым (А.Вознесенский).
4. Уже не раз доходили до меня слухи о Яшке Турк, как о лучшем певце в околотке (И.Тургенев).
5. Я счастлива жить образцово и просто - как солнце, как маятник, как календарь (М.Цветаева).
6. Ужасен мой лик - бороденка как щетка.
7. Критики и рецензенты весьма часто относятся к литератору как силачи к деревянной голове турка (М.Горький).
8. Каждый вздох - как радости глоток (М.Дудин).
9. Как всякий нормальный мальчишка я: жил на берегу реки и в лесу, ходил босиком, дрался со сверстниками (В. Липатов).
10. Огни как нити золотых бус (М.Цветаева).
11. Все отскакивает от него как резиновый мяч отскакивает от стенки.
12. Сосна, как дерево, смолистое, с трудом поддается гниению. (С.Аксаков.)
13. Дождь мелкий, как изморось, продолжал бесшумно ложиться на тайгу. (А.Фадеев.)
14. Слева по-прежнему шла черная гряда сопок, изогнувшись, как хребет гигантского зверя. (А.Фадеев.)
15. Небо в январе, как звездный шатер.