Question

1. Определите первые три члена арифметической прогрессии по заданным данным: {a2+a4=16
{a1*a5=28​

Answer 1

Два варианта первой тройки членов ар. прогрессии.

$1) \: & a_1 =2, \: & a_2 = 5, \: & a_3 = 8 \\ 2) \:& a_1 =14, \:& a_2 = 11, \: & a_3 = 8 \\$

Объяснение:

Для арифметической прогрессии справедливо

$a_n = a_1+b\cdot{(n-1)} \\ a_n=a_m + b\cdot{(n-m)}$

Нам известно:

$a_2 + a_4 = 16 \\ a_1 \cdot{a_5}=28$

Выразим а2, а4, а5 через а1 и b:

$a_2 = a_1 + 1b \\ a_4 = a_1 + 3b \\ a_5 = a_1 + 4b$

То есть для первого равенства:

$\small{a_2 + a_4 = (a_1 + b) + (a_1 + 3b) = 2a_1 + 4b} \\ \small{a_2 + a_4 =16 < = 2a_1 + 4b = 16}$

Для второго:

$a_1 \cdot{a_5}=a_1 \cdot{(a_1 + 4b)} = a_1^{2} +4b \cdot a_1 \\ a_1 \cdot{a_5}=28 < = a_1^{2} +4 \cdot a_1b = 28$

Запишем это в системе:

$\small{ \begin{cases}a_1^{2} +4b \cdot a_1 = 28\\2a_1 + 4b = 16 \end{cases} < = \begin{cases}a_1^{2} +4b \cdot a_1 = 28\\a_1 = 8 - 2b \end{cases} } \\ \small{\begin{cases}(8 - 2b)^{2} +4b \cdot(8 - 2b) = 28 \\ a_1 = 8 - 2b \end{cases} }$

Решим 1 уравнение системы

$(8 - 2b)^{2} +4b \cdot(8 - 2b) = 28 \\ (8 - 2b)^{2} +4b \cdot(8 - 2b) - 28 = 0 \\ \small{ {8}^{2} - 2 \cdot8\cdot2b + (2b)^{2} + 8\cdot4b - 4b\cdot2b - 28 = 0} \\ \small{ 64 - 32b + 4 {b}^{2} + 32b - 8 {b}^{2} - 28 = 0} \\ \small{ 36 - 4 {b}^{2}= 0 < = 9 - {b}^{2}= 0 {b}^{2}= 9}$

Отсюда:

$\small{\begin{cases}b = 3 \\ a_1 = 8 - 2b \end{cases}} \: \: { \cup} \: \: \small{\begin{cases}b = - 3 \\ a_1 = 8 - 2b \end{cases}} \\ \small{\begin{cases} a_1 =8 - 2 \cdot3 \\ b = 3 \end{cases}} \: \: \cup \: \: \small{\begin{cases} a_1 = 8 - 2 \cdot( - 3) \\ b = - 3 \end{cases}} \\ \small{\begin{cases} a_1 =2 \\ b = 3 \end{cases}} \: \: \cup \: \: \small{\begin{cases} a_1 = 14 \\ b = - 3 \end{cases}}$

То есть имеем 2 варианта решения:

1)

$\small{\begin{cases}a_1 = 2 \\ b = 3 \\ \end{cases}}$

и такие первые три члена арифм.прогрессии:

$a_1 =2, \: \: a_2 =5, \: \: a_3 = 8$

2)

$\small{\begin{cases}a_1 = 14 \\ b = - 3 \\ \end{cases}}$

и такие первые три члена арифм.прогрессии

$a_1 =14, \: \: a_2 =11, \: \: a_3 = 8$

ПРОВЕРКА:

1) Если а1 = 2, b = 3:

$a_2 + a_4 = 5 + 11 = 16 \\ a_1 \cdot a_5 = 2 \cdot 14 = 28$

2) Если а1 = 14, b = -3:

$a_2 + a_4 = 11 + 5 = 16 \\ a_1 \cdot a_5 = 14 \cdot 2 = 28$