Question

1. [ ] Преобразуйте уравнение (х + 7)2 - 4х = 2х(х - 5) к виду ax2 + bx + c = 0. Укажите старший коэффициент, второй коэффициент и свободный член этого уравнения.

2. а) [ ] Определите, какое из уравнений является неприведенным квадратным уравнением и найдите его корни: А) 3x2 − 2x - 5 = 0; В) x2 + 6 x - 9 = 0; С) x2 + 7x - 8 = 0; D) x2 − 3x + 9 = 0

б) [ ] Составьте приведенное квадратное уравнение, имеющие корни

х1= 8, х2 = – 2.

3. [ ] Дано квадратное уравнение 2х2 - 16х + с = 0.

а) Определите, при каких значениях параметра с уравнение имеет два одинаковых корня.

б) Найдите эти корни уравнения.

4. [ ] Для квадратного трехчлена х2 – 10х + 21

а) выделите полный квадрат;

б) разложите квадратный трехчлен на множители

4. [ ] Не вычисляя корней квадратного уравнения х2 + 8х - 65 = 0, найдите

а) Укажите область допустимых значений уравнения;

б) Приведите рациональное уравнение к квадратному уравнению;

в) Найдите решения рационального уравнения.

​

Answer 1

1. Преобразуйте уравнение (х + 7)2 - 4х = 2х(х - 5) к виду ax2 + bx + c = 0. Укажите старший коэффициент, второй коэффициент и свободный член этого уравнения.

$(x+7) 2-4x = 2x(x-5)\\\$

Переобразуем:

$2x-14-4x = 2x^2-10x\\$

Переносим в общую сторону (левую) и меняем знаки:

$2x-14-4x - 2x^2 + 10x$

Сокрашаем:

$8x - 14 - 2x^2\\-2x^2 +8x-14$

ответ: $-2x^2 +8x-14$

Старший коэффициент: $-2x^2$

Второй коэффициент: 8x

Свободный член: -14

2. а) Определите, какое из уравнений является неприведенным квадратным уравнением и найдите его корни:

А) $3x^2 - 2x - 5 = 0$

В) $x^2 + 6 x - 9 = 0$

С) $x^2 + 7x - 8 = 0$

D) $x^2 - 3x + 9 = 0$

У неприведенных квадратных уравнениях, старшие коэффициенты не равны 1. (0/5, 3, 5, -17, тд - все неприведенные квадратные уравнения).

A)

$3x^2 - 2x - 5 = 0\\D = b^2 - 4ac = (-2)^2-4 * 3 * (-5) = 4 - (-60) = 64 = 8^2\\x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2*3} = \frac{2+8}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \\x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2*3} = \frac{2-8}{6} = \frac{-6}{6} = -1\\$

$x_1 = 1\frac{2}{3}\\x_2 = -1$

2. б) Составьте приведенное квадратное уравнение, имеющие корни х1= 8, х2 = –2.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -p \\8 + (-2) = 8 - 2 = 6\\-p = 6\\p = -6$

$q = x_1*x_2 = 8 * (-2) = -16\\q = -16$

$x^2 -6 - 16= 0$

ответ: $x^2 -6 - 16= 0$

3. Дано квадратное уравнение 2х^2 - 16х + с = 0.

а) Определите, при каких значениях параметра с уравнение имеет два одинаковых корня.

Если дискриминант (D) квадратного уравнения равен 0, то уравнение имеет 1 корень, или говорят $x_1$и $x_2$ совпадают.

Если p = 0, то $x_1 = x_2$

$D = (-16)^2 - 4 * 2 * c = 256 - 8c = 0\\256 - 8c = 0\\-8c = -256\\c = \frac{-256}{-8} = 32\\c = 32\\$

ответ: c = 32

3. б) Найдите эти корни уравнения

$2x^2 - 16x + 32 = 0$

$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 * 2 * 32 = 256 - 256 = 0\\x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a} = \frac{-16}{2*2} = \frac{-16}{4} = -4\\$

ответ: $x_1 = x_2 = -4$

Дальше не знаю как решать