Question

Три числа x, y, 20 в указанном порядке составляют возрастающую геометрическую прогрессию, а числа x, y, 15 арифметическую прогрессию. Найти y-x

Answer 1

Используя первое условие и характеристическое свойство геометрической прогрессии, запишем:

$y^2=20x$

Используя второе условие и характеристическое свойство арифметической прогрессии, запишем:

$y=\dfrac{x+15}{2}$

Получим систему уравнений:

$\begin{cases} y^2=20x\\ y=\dfrac{x+15}{2}\end{cases}$

Подставим в перове уравнение соотношение для у:

$\left(\dfrac{x+15}{2}\right)^2=20x$

$\dfrac{x^2+30x+225}{4}=20x$

$x^2+30x+225=4\cdot20x$

$x^2+30x+225=80x$

$x^2-50x+225=0$

$D_1=(-25)^2-1\cdot225=400$

$x_1=25+\sqrt{400} =45\Rightarrow y_1=\dfrac{45+15}{2} =30$

$x_2=25-\sqrt{400} =5\Rightarrow y_2=\dfrac{5+15}{2} =10$

Заметим, что по условию геометрическая прогрессия - возрастающая. Значит, x<y<15. Это условие не выполняется для первого найденного решения.

Тогда, имеем единственное решение:

$\begin{cases} x=5\\ y=10\end{cases}$

$y-x=10-5=5$

ответ: 5