Question

1. Решить матричное уравнение

Answer 1

Объяснение:

$\left(\begin{array}{ccc}1&-2\\-3&4\\\end{array}\right)*X=\left(\begin{array}{ccc}3&-5\\-2&9\\\end{array}\right).\\X=A^{-1}B.\\A^{-1}=\frac{1}{|A|}*A^T_+\\|A|=1*4-(-2)*(-3) =4-6=-2.\\A^T_+=\left(\begin{array}{ccc}4&2\\3&1\\\end{array}\right) .\ \ \ \ \Rightarrow\\X=-\frac{1}{2} *\left(\begin{array}{ccc}4&2\\3&1\\\end{array}\right)*\left(\begin{array}{ccc}3&-5\\-2&9\\\end{array}\right)=-\frac{1}{2}* \left(\begin{array}{ccc}4*3+2*(-2)&4*(-5)+2*9\\3*3+1*(-2)&3*(-5)+1*9\\\end{array}\right) =\\$

$=-\frac{1}{2}* \left(\begin{array}{ccc}8&-2\\7&-6\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-4&1\\-\frac{7}{2} &3\\\end{array}\right) .$

ответ: A.

Answer 2

$A. \quad \left(\begin{array}{cc}-4&1\\-\frac{7}{2}&3\end{array}\right) ;$

Объяснение:

$\left(\begin{array}{cc}1&-2\\-3&4\end{array}\right) \cdot X=\left(\begin{array}{cc}3&-5\\-2&9\end{array}\right) ;$

Решение находим в виде

$X=A^{-1} \cdot B;$

$A=\left(\begin{array}{cc}1&-2\\-3&4\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc}3&-5\\-2&9\end{array}\right) ;$

Найдём обратную матрицу. Она ищется по следующей формуле:

$A^{-1}=\frac{1}{detA} \cdot C^{*},$

$det A=\left|\begin{array}{cc}1&-2\\-3&4\end{array}\right| = 1 \cdot 4-(-2) \cdot (-3)=4-6=-2 \neq 0;$

Определитель матрицы не равен нулю, значит, обратная матрица существует.

$C^{*}=\left(\begin{array}{cc}A_{11}&A_{21}\\A_{12}&A_{22}\end{array}\right) ;$

$A_{ij}=(-1)^{i+j} \cdot M_{ij};$

$A_{11}=(-1)^{1+1} \cdot M_{11}=(-1)^{2} \cdot M_{11}=1 \cdot M_{11}=M_{11};$

Для того, чтобы найти минор M₁₁ , вычеркнем из матрицы А элементы, находящиеся в первой строке и первом столбце. Получаем

$M_{11}=4 \Rightarrow A_{11}=4;$

Остальные миноры находим аналогичным образом.

$A_{12}=(-1)^{1+2} \cdot M_{12}=(-1)^{3} \cdot M_{12}=-1 \cdot M_{12}=-M_{12};$

$M_{12}=-3 \Rightarrow A_{12}=-(-3)=3;$

$A_{21}=(-1)^{2+1} \cdot M_{21}=(-1)^{3} \cdot M_{21}=-1 \cdot M_{21}=-M_{21};$

$M_{21}=-2 \Rightarrow A_{21}=-(-2)=2;$

$A_{22}=(-1)^{2+2} \cdot M_{22}=(-1)^{4} \cdot M_{22}=1 \cdot M_{22}=M_{22};$

$M_{22}=1 \Rightarrow A_{22}=1;$

$C^{*}=\left(\begin{array}{cc}4&2\\3&1\end{array}\right) ;$

$A^{-1}=-\frac{1}{2} \left(\begin{array}{cc}4&2\\3&1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-2&-1\\-1,5&-0,5\end{array}\right) ;$

$X=A^{-1} \cdot B;$

$X=\left(\begin{array}{cc}-2&-1\\-1,5&-0,5\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{cc}3&-5\\-2&9\end{array}\right) =$

$=\left(\begin{array}{cc}-2 \cdot 3+(-1) \cdot (-2)&-2 \cdot (-5)+(-1) \cdot 9\\-1,5 \cdot 3+(-0,5) \cdot (-2)&-1,5 \cdot (-5)+(-0,5) \cdot 9\end{array}\right)=$

$=\left(\begin{array}{cc}-6+2&10-9\\-4,5+1&7,5-4,5\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-4&1\\-3,5&3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}-4&1\\-\frac{7}{2}&3\end{array}\right) ;$

Проверка:

$\left(\begin{array}{cc}1&-2\\-3&4\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{cc}-4&1\\-\frac{7}{2}&3\end{array}\right) =$

$=\left(\begin{array}{cc}1 \cdot (-4)+(-2) \cdot (-\frac{7}{2})&1 \cdot 1+(-2) \cdot 3\\-3 \cdot (-4)+4 \cdot (-\frac{7}{2})&-3 \cdot 1+4 \cdot 3\end{array}\right) =$

$=\left(\begin{array}{cc}-4+7&1-6\\12-14&-3+12\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}3&-5\\-2&9\end{array}\right) = B;$

$A. \quad \left(\begin{array}{cc}-4&1\\-\frac{7}{2}&3\end{array}\right) ;$