М
Молодежь
К
Компьютеры-и-электроника
Д
Дом-и-сад
С
Стиль-и-уход-за-собой
П
Праздники-и-традиции
Т
Транспорт
П
Путешествия
С
Семейная-жизнь
Ф
Философия-и-религия
Б
Без категории
М
Мир-работы
Х
Хобби-и-рукоделие
И
Искусство-и-развлечения
В
Взаимоотношения
З
Здоровье
К
Кулинария-и-гостеприимство
Ф
Финансы-и-бизнес
П
Питомцы-и-животные
О
Образование
О
Образование-и-коммуникации
vldslvkonnov089
vldslvkonnov089
11.12.2022 01:34 •  Алгебра

Найти неопределенный интеграл


\frac{x^3-9x+13}{(x-1)(x^2-3x+2)}

👇
Ответ:
zorlnaviitukp00zmd
zorlnaviitukp00zmd
11.12.2022

\int\limits \frac{ {x}^{3} - 9x + 13 }{(x - 1)( {x}^{2} - 3x + 2) } dx = \int\limits \frac{ {x}^{3} - 9x + 13 }{{x}^{3} - 3 {x}^{2} + 2x - {x}^{2} + 3x - 2}dx = \\ = \int\limits \frac{ {x}^{3} - 9x + 13}{ {x}^{3} - 4 {x}^{2} + 5x - 2} dx

Разделим числитель на знаменатель:

\int\limits(1 + \frac{4 {x}^{2} - 14x + 15}{(x - 1)( {x}^{2} - 3x + 2) } )dx \\

{x}^{2} - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

\int\limits(1 + \frac{4 {x}^{2} - 14x + 15 }{(x - 2) {(x - 1)}^{2} } )dx = \\ = \int\limits \: dx + \int\limits \frac{4 {x}^{2} - 14x + 15 }{(x - 2) {(x - 1)}^{2} } dx

первый интеграл:

\int\limits \: dx = x + C \\

второй интеграл:

\int\limits \frac{4 {x}^{2} - 14x + 15}{(x - 2) {(x - 1)}^{2} } dx \\

с неопределенных коэффициентов разделим на простейшие дроби:

\frac{4 {x}^{2} - 14x + 15 }{(x - 2) {(x - 1)}^{2} } = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{ {(x - 1)}^{2} } + \frac{C}{x - 2} \\ 4 {x}^{2} - 14 + 15 = A(x - 1)(x - 2) + B(x - 2) + C {(x - 1)}^{2} \\ 4 {x}^{2} - 14x + 15 = A {x}^{2} - 3Ax + 2A + Bx - 2B + C {x}^{2} - 2Cx + C \\ \\ 4 = A + C \\ - 14 = - 3A + B - 2C \\ 15 = 2A - 2B + C \\ \\ A= 4 - C \\ - 12 + 3C + B - 2C = - 14 \\ 8 - 2C - 2B+ C = 15 \\ \\ A = 4 - C \\ B + C = - 2 \\ - C - 2B= 7 \\ \\ A = 4 - C \\ B= - 2 - C\\ - C + 4 + 2C = 7 \\ \\ C+ 4 = 7 \\ C = 3 \\ \\ A = 1 \\ B = - 5 \\ C = 3

получаем:

\int\limits \frac{dx}{x - 1} - \int\limits \frac{5dx}{ {(x - 1)}^{2} } + \int\limits \frac{3dx}{x - 2} = \\ = ln(x - 1) + 3 ln(x - 2) -5\int\limits {(x - 1)}^{ - 2} d(x - 1) = \\ = ln(x - 1) + 3 ln(x - 2) - 5 \times \frac{ {(x - 1)}^{ - 1} }{( - 1)} + C = \\ = ln(x - 1) + 3 ln(x - 2) + \frac{5}{x - 1} + C

складываем ответы первого и второго интегралов получаем:

x + ln(x - 1) + 3ln(x - 2) + \frac{5}{x - 1} + C\\

4,5(67 оценок)
Открыть все ответы
Ответ:
soymapoIina
soymapoIina
11.12.2022
(1) Основное тригонометрическое тождествоsin2(α) + cos2(α) = 1(2) Основное тождество через тангенс и косинус1 + tg^2(\alpha) = \frac{1}{cos^2(\alpha)}1+tg​2​​(α)=​cos​2​​(α)​​1​​(3) Основное тождество через котангенс и синус1 + ctg^2(\alpha) = \frac{1}{sin^2(\alpha)}1+ctg​2​​(α)=​sin​2​​(α)​​1​​(4) Соотношение между тангенсом и котангенсомtg(α)ctg(α) = 1(5) Синус двойного углаsin(2α) = 2sin(α)cos(α)(6) Косинус двойного углаcos(2α) = cos2(α) – sin2(α) = 2cos2(α) – 1 = 1 – 2sin2(α)(7) Тангенс двойного углаtg(2α) =  2tg(α)1 – tg2(α)(8) Котангенс двойного углаctg(2α) =ctg2(α) – 1  2ctg(α)(9) Синус тройного углаsin(3α) = 3sin(α)cos2(α) – sin3(α)(10) Косинус тройного углаcos(3α) = cos3(α) – 3cos(α)sin2(α)(11) Косинус суммы/разностиcos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)(12) Синус суммы/разностиsin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)(13) Тангенс суммы/разностиtg(\alpha\pm\beta) = \frac{tg(\alpha) ~ \pm ~ tg(\beta)}{1 ~ \mp ~ tg(\alpha)tg(\beta)}tg(α±β)=​1 ∓ tg(α)tg(β)​​tg(α) ± tg(β)​​(14) Котангенс суммы/разностиctg(\alpha\pm\beta) = \frac{-1 ~ \pm ~ ctg(\alpha)ctg(\beta)}{ctg(\alpha) ~ \pm ~ ctg(\beta)}ctg(α±β)=​ctg(α) ± ctg(β)​​−1 ± ctg(α)ctg(β)​​(15) Произведение синусовsin(α)sin(β) = ½(cos(α–β) – cos(α+β))(16) Произведение косинусовcos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α–β))(17) Произведение синуса на косинусsin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α–β))(18) Сумма/разность синусовsin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β))(19) Сумма косинусовcos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α–β))(20) Разность косинусовcos(α) – cos(β) = –2sin(½(α+β))sin(½(α–β))(21) Сумма/разность тангенсовtg(\alpha) \pm tg(\beta) = \frac{sin(\alpha\pm\beta)}{cos(\alpha)cos(\beta)}tg(α)±tg(β)=​cos(α)cos(β)​​sin(α±β)​​(22) Формула понижения степени синусаsin2(α) = ½(1 – cos(2α))(23) Формула понижения степени косинусаcos2(α) = ½(1 + cos(2α))(24) Сумма/разность синуса и косинусаsin(\alpha) \pm cos(\alpha) = \sqrt{2}sin(\alpha\pm\frac{\pi}{4})sin(α)±cos(α)=√​2​​​sin(α±​4​​π​​)(25) Сумма/разность синуса и косинуса с коэффициентамиAsin(\alpha) \pm Bcos(\alpha) = \sqrt{A^2+B^2}(sin(\alpha \pm arccos(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}})))Asin(α)±Bcos(α)=√​A​2​​+B​2​​​​​(sin(α±arccos(​)))(26) Основное соотношение арксинуса и арккосинусаarcsin(x) + arccos(x) = π/2(27) Основное соотношение арктангенса и арккотангенсаarctg(x) + arcctg(x) = π/2

Формулы общего вида(1) Формула понижения nй четной степени синусаsin^n(\alpha) = \frac{C_{\frac{n}{2}}^{n}}{2^n} + \frac{1}{2^{n-1}} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{\frac{n}{2}-k} C_{k}^{n}cos((n-2k)\alpha)sin​n​​(α)=​2​n​​​​C​​2​​n​​​n​​​​+​2​n−1​​​​1​​∑​k=0​​2​​n​​−1​​(−1)​​2​​n​​−k​​C​k​n​​cos((n−2k)α)(2) Формула понижения nй четной степени косинусаcos^n(\alpha) = \frac{C_{\frac{n}{2}}^{n}}{2^n} + \frac{1}{2^{n-1}} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} C_{k}^{n}cos((n-2k)\alpha)cos​n​​(α)=​2​n​​​​C​​2​​n​​​n​​​​+​2​n−1​​​​1​​∑​k=0​​2​​n​​−1​​C​k​n​​cos((n−2k)α)(3) Формула понижения nй нечетной степени синусаsin^n(\alpha) = \frac{1}{2^{n-1}} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{\frac{n-1}{2}-k} C_{k}^{n}sin((n-2k)\alpha)sin​n​​(α)=​2​n−1​​​​1​​∑​k=0​​2​​n−1​​​​(−1)​​2​​n−1​​−k​​C​k​n​​sin((n−2k)α)(4) Формула понижения nй нечетной степени косинусаcos^n(\alpha) = \frac{1}{2^{n-1}} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} C_{k}^{n}cos((n-2k)\alpha)cos​n​​(α)=​2​n−1​​​​1​​∑​k=0​​2​​n−1​​​​C​k​n​​cos((n−2k)α)
4,7(28 оценок)
Ответ:
яяяяяя60
яяяяяя60
11.12.2022
{a1+ a6=11    a2+a4=10
Выразим а2, а4 , а6 через первый член арифметической прогрессии и разность прогрессии (d)
a2=a1+d        a4=a1+3d        a6=a1+5d и подставим в систему:
{a1+a1+5d=11        a1+d+a1+3d=10
{2a1+5d=11              2a1+4d=10
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на (-1)  и сложим со вторым:
{-2a1-5d=-11    +    2a1+4d=10
-d=-1
d=1
2a1+4=10
a1=3 (подставили найденное значение d во второе уравнение системы и нашли первый член прогрессии.)
По формуле суммы n-первых членов прогрессии найдём сумму первых шести членов этой прогрессии:
S6=(2·3+5 )\2·6=33      (Sn=(2a1+d(n-1))\2·n)
ответ:33  
4,7(5 оценок)
Это интересно:
Новые ответы от MOGZ: Алгебра
logo
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси Mozg
Открыть лучший ответ