Question

Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение

Answer 1

это уравнение Бернулли.

Разделим каждый член на у в степени 3/4

$\frac{y'}{ {y}^{ \frac{3}{4} } } + \frac{2}{x} {y}^{ \frac{1} {4} } = 2 {x}^{2} \\$

замена:

${y}^{ \frac{1}{4} } = z \\ z '= \frac{1}{4} {y}^{ - \frac{3}{4} } \times y'= \frac{y'}{4 {y}^{ \frac{3}{4} } } \\ \frac{y'}{ {y}^{ \frac{3}{4} } } = 4z '$

$4z' + z \times \frac{2}{x} = 2 {x}^{2} \\ z'+ \frac{z}{2x} = \frac{ {x}^{2} }{2}$

получили ЛДУ.

Замена:

$z = uv \\ z' = u'v + v'u$

$u'v + v'u + \frac{uv}{2x} = \frac{ {x}^{2} }{2} \\ u'v + u(v + \frac{v}{2x} ) = \frac{ {x}^{2} }{2} \\ \\ 1)v + \frac{v}{2x} = 0 \\ \frac{dv}{dx} = - \frac{z}{2x} \\ \int\limits \frac{dv}{v} = - \frac{1}{2} \int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(v) = - \frac{1}{2} ln(x) \\ v = \frac{1}{ \sqrt{x} } \\ \\ 2) u'v = \frac{ {x}^{2} }{2} \\ \frac{du}{dx} \times \frac{1}{ \sqrt{x} } = \frac{ {x}^{2} }{2} \\ \int\limits \: du = \frac{1}{2} \int\limits {x}^{ \frac{5}{2} } dx \\ u = \frac{1}{2} \times \frac{ {x}^{ \frac{7}{2} } }{ \frac{7}{2} } + C \\ u = \frac{1}{7} {x}^{3} \sqrt{x} + C \\ \\ z = \frac{1}{ \sqrt{x} } ( \frac{1}{7} {x}^{3} \sqrt{x} + C) = \\ = \frac{ {x}^{3} }{7} + \frac{C}{ \sqrt{x} } \\ \\ \sqrt[4]{y} = \frac{ {x}^{3} }{7} + \frac{C}{ \sqrt{x} }$

общее решение