Question

Выполнить следующие действия над комплексными числами u 3_ 5
1) u + v; 2) u - v; 3) u ∙ v; 4) ───; 5) √v; 6) v
v
u = -8 + 7i ; v = -8 + 2i

Answer 1

Для выполнения указанных действий над комплексными числами u и v, нам понадобится использовать правила работы с комплексными числами.

У нас есть два комплексных числа u и v, представленных следующим образом:
u = -8 + 7i
v = -8 + 2i

1) Чтобы выполнить сложение двух комплексных чисел u и v, нужно сложить их вещественные и мнимые части по отдельности. Итак:
u + v = (-8 + 7i) + (-8 + 2i)
Раскроем скобки:
u + v = -8 + 7i - 8 + 2i
Сгруппируем вещественные и мнимые части:
u + v = (-8 - 8) + (7i + 2i)
Сложим числа в скобках:
u + v = -16 + 9i

2) Чтобы выполнить вычитание двух комплексных чисел u и v, нужно вычесть их вещественные и мнимые части по отдельности. Итак:
u - v = (-8 + 7i) - (-8 + 2i)
Раскроем скобки:
u - v = -8 + 7i + 8 - 2i
Сгруппируем вещественные и мнимые части:
u - v = (-8 + 8) + (7i - 2i)
Выполним вычитание чисел в скобках:
u - v = 0 + 5i

3) Чтобы выполнить умножение двух комплексных чисел u и v, нужно использовать формулу раскрытия скобок и свойства i^2 = -1. Итак:
u * v = (-8 + 7i) * (-8 + 2i)
Раскроем скобки:
u * v = (-8 * -8) + (-8 * 2i) + (7i * -8) + (7i * 2i)
Выполним умножение чисел:
u * v = 64 - 16i - 56i - 14
Сгруппируем вещественные и мнимые части:
u * v = (64 - 14) + (-16i - 56i)
Выполним сложение чисел:
u * v = 50 - 72i

4) Чтобы выполнить деление комплексного числа u на v, нужно использовать формулу деления комплексных чисел. Понадобится также найти сопряженное число для делителя v. Итак:
v' = -8 - 2i (сопряжение числа v)
(u / v) = (u * v') / (v * v')
Раскроем числитель и знаменатель:
(u / v) = [(-8 + 7i) * (-8 - 2i)] / [(-8 + 2i) * (-8 - 2i)]
Выполним умножение чисел:
(u / v) = [(64 - 16i + 56i - 14) / (64 - 4i^2)]
Учитывая, что i^2 = -1:
(u / v) = [(64 + 42i - 14) / (64 + 4)]
Упростим числитель и знаменатель:
(u / v) = [50 + 42i] / 68
(u / v) = 25/34 + (21/34)i

5) Чтобы выполнить извлечение квадратного корня из комплексного числа v, нужно использовать формулу для извлечения квадратного корня из комплексного числа. Понадобится также найти модуль и аргумент числа v. Итак:
|v| = √((-8)^2 + 2^2)
Выполним вычисления:
|v| = √(64 + 4)
|v| = √68
|v| ≈ 8.246

Arg(v) = atan(2/-8)
Выполним вычисления:
Arg(v) ≈ -0.244

Теперь мы можем записать комплексное число v в показательной форме:
v = 8.246 * e^(i * -0.244)

Чтобы найти квадратный корень из v, нужно взять квадратный корень из его модуля и разделить аргумент на 2. Итак:
√v = √(8.246 * e^(i * -0.244))
√v = √(8.246) * e^(i * -0.244 / 2)
√v ≈ 2.872 * e^(i * -0.122)

6) Нам необходимо найти комплексно сопряженное число для v. Для этого нужно изменить знак перед мнимой частью. Итак:
v' = -8 - 2i

Надеюсь, я смог пошагово и подробно объяснить ответ на данный вопрос. Если у тебя возникнут ещё вопросы, не стесняйся задавать!