Question

Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальным условиям
слева уравнение справа начальные условия

Answer 1

$y'' - 2y' = 5x - 2$

1.

$y'' - 2y' = 0 \\ y = {e}^{kx} \\ {k}^{2} - 2k = 0 \\ k(k - 2) = 0 \\ k1 = 0 \\ k2 = 2 \\ y = C1 + C2 {e}^{2x}$

2.

Подбираем у с неопределенными коэффициентми:

$у = (Ax + B)x = A {x}^{2} + Bx$

$у' = 2Ax + B$

$у'' = 2A$

подставляем в НЛДУ:

$2A - 2 \times (2Ax + B) = 5x - 2 \\ 2A- 4Ax - 2B = 5x - 2 \\ \\ - 4A= 5 \\ 2A - 2B= - 2 \\ \\ A = - \frac{5}{4} \\ B = A+ 1 = - \frac{1}{4}$

$у= - \frac{5 {x}^{2} }{4} - \frac{x}{4} \\$

общее решение:

$y = C1 + C2 {e}^{2x} - \frac{5 {x}^{2} }{4} - \frac{x}{4} \\$

3.

$y(0) = 1,y'(0) = 1$

$y' = 2C2 {e}^{2x} - \frac{10x}{4} - \frac{1}{4} \\$

система:

$1 = C1 + C2 - 0 \\ 1 = 2C2 - \frac{1}{4} \\ \\ C2 = (1 + \frac{1}{4} ) \times \frac{1}{2} = \frac{5}{8} \\ C1 = 1 - C2 = \frac{3}{8}$

$y = \frac{3}{8} + \frac{5}{8} {e}^{2x} - \frac{5 {x}^{2} }{4} - \frac{x}{4} \\$

частное решение