а) Графики функций не пересекаются, если система уравнений
y=-x²
y=2x+k не имеет решений, или все равно, что квадратное уравнение -х²=2х+к имеет отрицательный дискриминант. Соберем все члены уравнения в одной стороне и найдем его дискриминант х²+2х+к=0; Д=4-4*1*к=4*(1-к)
Знак дискриминанта будет зависеть от выражения 1-к, оно будет
отрицательным 1-к<0, если к >1.
б) Одну точку общую эти графики будут иметь при нулевом дискриминанте, т.е. когда к=1
в) Две общих точки у графиков будет при условии положительности дискриминанта, т.е. когда 1-к>0, к<1
Исследовать функцию f (x) = 12x/(9+x²) и построить ее график.
1. Область определения функции - вся числовая ось, так как знаменатель не может быть равен нулю.
2. Функция f (x) = 12x/(9+x²) непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.
3. Четность, нечетность, периодичность:
f(–x) = 12*(–x)/(9+(–x)²) = –(12x(9+x²)) = –f(x).
Функция является нечетной. График функции симметричен относительно начала координат.
Функция непериодическая.
4. Точки пересечения с осями координат:
Ox: y=0, 12x/(9+x²) = 0 ⇒ x=0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью Ox.
Oy: x = 0 ⇒ y = 0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью Oy.
5. Промежутки монотонности и точки экстремума:
Находим производную заданной функции.f′(x)=(12⋅x/(9+x²))′==((12⋅x)′⋅(9+x²)−12⋅x⋅(9+x²)′)/(9+x²)²==(12⋅(9+x²)−12⋅x⋅(x²)′)(9+x²)²==((12⋅(9+x²)−24⋅x⋅x)/(9+x²)²ответ:f′(x)=(12⋅(9+x2)−24⋅x²)(9+x²)² = (12(9-x²))/(9+x²)².
Приравниваем её нулю (достаточно числитель):
12(9-х²) = 0, 9 = х², х = +-3.
x = 3, x = -3 критические точки.
Интервалы возрастания и убывания функции:Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимум функции в точке:
x_{1} = -3
Максимум функции в точке: x_{2} = 3.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает.
Убывает на промежутках (-oo, -3] U [3, oo).
Возрастает на промежутке [-3, 3].
6. Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
Вторая производная
Приравниваем нулю и решаем это уравнение.
Для дроби достаточно нулю приравнять числитель:
24x(x²-27) = 0.
Решаем это уравнение: х = 0, х² - 27 = 0
Корни этого уравнения: х₁ = 0. х₂ = √27 =3√3, х₃ = -√27 = -3√3.
7. Интервалы выпуклости и вогнутости:
[-3*sqrt(3), 0] U [3*sqrt(3), oo)Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
Выпуклая на промежутках
(-oo, -3*sqrt(3)] U [0, 3*sqrt(3)]8. Искомый график функции дан в приложении.