Логарифмическая — функция, обратная потенциированию.
Построив график обратной функции и зеркально отразив его относительно прямой y = x, получим нужный нам график.
Итак, обратная к
функция — это
Строим график
Его можно получить из графика
смещением вверх на 2 (либо смещением оси y вниз на 2).
Это — быстровозрастающая функция, равная 1 при x = 0, стремящаяся к 0 на минус бесконечности. Располагается только в верхней полуплоскости (область значений y ≥ 0). Несколько точек для построения: x = 1, y = 2; x = 2, y = 4; x = 4, y = 16; x = -1, y = 0.5; x = -2, y = 0.25.
Рисунок 1 — графики функций и
Отражением относительно прямой y = x получаем искомый график.
Рисунок 2 — графики функций и заданной
Рассматривается выражение
Докажем, что y положительно при любом значении x. Допустим, что это не так. Найдём такие x, при которых y ≤ 0. Для этого решим неравенство:
Или
Что не имеет решений, так как
Мы пришли к противоречию. Следовательно,
принимает положительное значение при любых x.
Для нахождения наименьшего значения найдём
:
Приравняв его 0, найдём точку экстремума:
Убедимся, что найденная точка — действительно минимум.
Итак, первая производная меняет в точке
знак с "-" на "+", следовательно, в этой точке мы действительно имеем минимум.
Значение y при x = -4: