Question

при каких значениях параметра а корни уравнения (2-а)^2 - 3ах +2а являются действительными и оба больше 0,5?

Answer 1

a ∈ (16/17; 2)

Объяснение:

(2 – a)x² – 3ax + 2a = 0

При a = 2 квадратное уравнение вырождается в линейное, а следовательно имеет единственный корень, что не соответствует условию задачи, поэтому 2 – a ≠ 0 и a ≠ 2.

У квадратного уравнения имеется два различных корня тогда и только тогда, когда дискриминант строго больше нуля.

D = (–3a)² – 4·(2 – a)·2a = 9a² – 16a + 8a² = 17a² – 16a = a·(17a – 16)

Корнями уравнения a·(17a – 16) = 0 являются числа a₁ = 0 и a₂ = 16/17, и поэтому D = a·(17a – 16) > 0 при a < 0 или a > 16/17.

Разделим обе части исходного уравнения на (2 – a), чтобы получить приведенное квадратное уравнение:

$x^2 - \dfrac{3a}{2-a}x+\dfrac{2a}{2-a}=0$

Полученное уравнение задает параболу, причем ветви параболы направлены вверх. Одновременно оба корня уравнения будут лежать с одной стороны от точки x = 0.5, когда f(0.5) > 0 (см. рисунок):

$0.5^2 - \dfrac{3a}{2-a}\cdot0.5 + \dfrac{2a}{2-a}0\\\\\dfrac{0.25(2-a) - 0.5\cdot3a + 2a}{2-a} 0\\\\\dfrac{0.25a+0.5}{2-a} 0$

"Корнями" являются a₁ = –2 и a₂ = 2, неравенство выполняется при –2 < a < 2.

По теореме Виета значение 3a / (2 – a) равно сумме корней уравнения. Тогда M = 3a / (4 – 2a) является арифметическим средним корней и лежит ровно посередине между ними. Оба корня будут лежать справа от x = 0.5, когда их среднее M > 0.5 (см. рисунок):

$\dfrac{3a}{4-2a} 0.5\\\\\dfrac{3a}{2-a} 1\\\\\dfrac{3a-2+a}{2-a} 0\\\\\dfrac{2a-1}{2-a} 0$

"Корнями" являются a₁ = 0.5 и a₂ = 2, неравенство выполняется при 0.5 < a < 2.

Таким образом, корни уравнения (2 – a)x² – 3ax + 2a = 0 являются действительными и оба больше 0.5 при одновременном выполнении системы из трех условий:

1. дискриминант строго больше нуля ⇒ a ∈ (–∞; 0) ∪ (16/17; +∞),

2. для приведенного уравнения справедливо f(0.5) > 0 ⇒ a ∈ (–2; 2),

3. среднее значение корней приведенного квадратного уравнения больше 0.5 ⇒ a ∈ (0.5; 2).

Пересекая полученные интервалы, получаем ответ: a ∈ (16/17; 2).