Чтобы найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет решение, мы должны выполнить следующие шаги:
1. Возведем оба выражения уравнения в квадрат, чтобы устранить корень:
(√(5ax + 7a))^2 = (5x + 7)^2
5ax + 7a = (5x + 7)^2
2. Упростим квадрат справа:
5ax + 7a = 25x^2 + 70x + 49
3. Перенесем все выражения на одну сторону уравнения:
25x^2 + (70 - 5a)x + (49 - 7a) = 0
4. Для того чтобы это квадратное уравнение имело решение, его дискриминант должен быть больше или равен нулю:
D = (70 - 5a)^2 - 4 * 25 * (49 - 7a) ≥ 0
Раскрываем скобки и сокращаем подобные слагаемые:
25a^2 - 490a + 2401 - 700a + 980 ≥ 0
25a^2 - 1190a + 3381 ≥ 0
5. Теперь мы можем решить неравенство, найдя значения параметра a, удовлетворяющие неравенству:
Поскольку у нас квадратное уравнение, мы знаем, что апараходы ветвей параболы будут выше или ниже оси абсцисс в зависимости от знака коэффициента при a^2. Таким образом, у нас есть два случая:
1) Уравнение имеет решение, если дискриминант равен нулю:
D = 0
25a^2 - 1190a + 3381 = 0
Для решения этого квадратного уравнения можно использовать формулу дискриминанта и получить значения параметра a.
2) Уравнение имеет решение, если дискриминант больше нуля:
D > 0
25a^2 - 1190a + 3381 > 0
Можно использовать метод интервалов для решения этого неравенства и определить интервалы, в которых должен находиться параметр a.
Таким образом, значения параметра a, при которых уравнение имеет решение, можно найти, решив квадратное уравнение при D = 0 и использовать метод интервалов для квадратного уравнения при D > 0.
1. Возведем оба выражения уравнения в квадрат, чтобы устранить корень:
(√(5ax + 7a))^2 = (5x + 7)^2
5ax + 7a = (5x + 7)^2
2. Упростим квадрат справа:
5ax + 7a = 25x^2 + 70x + 49
3. Перенесем все выражения на одну сторону уравнения:
25x^2 + (70 - 5a)x + (49 - 7a) = 0
4. Для того чтобы это квадратное уравнение имело решение, его дискриминант должен быть больше или равен нулю:
D = (70 - 5a)^2 - 4 * 25 * (49 - 7a) ≥ 0
Раскрываем скобки и сокращаем подобные слагаемые:
25a^2 - 490a + 2401 - 700a + 980 ≥ 0
25a^2 - 1190a + 3381 ≥ 0
5. Теперь мы можем решить неравенство, найдя значения параметра a, удовлетворяющие неравенству:
Поскольку у нас квадратное уравнение, мы знаем, что апараходы ветвей параболы будут выше или ниже оси абсцисс в зависимости от знака коэффициента при a^2. Таким образом, у нас есть два случая:
1) Уравнение имеет решение, если дискриминант равен нулю:
D = 0
25a^2 - 1190a + 3381 = 0
Для решения этого квадратного уравнения можно использовать формулу дискриминанта и получить значения параметра a.
2) Уравнение имеет решение, если дискриминант больше нуля:
D > 0
25a^2 - 1190a + 3381 > 0
Можно использовать метод интервалов для решения этого неравенства и определить интервалы, в которых должен находиться параметр a.
Таким образом, значения параметра a, при которых уравнение имеет решение, можно найти, решив квадратное уравнение при D = 0 и использовать метод интервалов для квадратного уравнения при D > 0.