Выбери верные утверждения для функции у = 2(x- 5)2 + 15.
Верных ответов: 4
Множество значений функции [15; +0)
Нули функции х = 1; х = 0
Промежуток возрастания хє [5; +0)
Прямая х = 5 является осью симметрии
графика функции
Наименьшее значение функции y= 15
MONTOV VOLUIG.157
Утверждение 1: Множество значений функции [15; +∞)
Для решения данного утверждения нужно рассмотреть, как изменяется функция при увеличении значения х. Если x стремится к +∞, то функция будет стремиться к бесконечности. Поскольку вершина параболы находится в точке (5, 15), то у функции y = 2(x-5)2 + 15 нет ограничений снизу, и ее значения начинаются от 15 и могут быть больше. Таким образом, утверждение 1 верно.
Утверждение 2: Нули функции x = 1; x = 0
Для нахождения нулей функции необходимо приравнять функцию к 0 и решить полученное уравнение. В данном случае y = 2(x-5)2 + 15 = 0. Раскроем скобки: 2(x-5)2 + 15 = 0 → 2(x-5)2 = -15. Поскольку квадрат не может быть отрицательным, уравнение не имеет действительных корней, то есть нули функции отсутствуют. Значит, утверждение 2 неверно.
Утверждение 3: Промежуток возрастания х ∈ [5; +∞)
Для нахождения промежутка возрастания функции нужно рассмотреть знак производной функции. Возьмем первую производную от функции y = 2(x-5)2 + 15: y' = 4(x-5). Поскольку коэффициент 4 положительный, производная положительна на всей числовой прямой. Это значит, что функция возрастает на всем множестве действительных чисел. Таким образом, утверждение 3 верно.
Утверждение 4: Прямая х = 5 является осью симметрии графика функции
Для того чтобы проверить, является ли прямая x = 5 осью симметрии, достаточно убедиться, что при замене x на 10 - x в функции получим такое же значение. Давайте проверим: заменим x на 10 - x в функции y = 2(x-5)2 + 15 и получим новую функцию y' = 2(10-x-5)2 + 15 = 2(5-x)2 + 15. Заметим, что y' = y, следовательно, прямая x = 5 является осью симметрии графика функции. Таким образом, утверждение 4 верно.
Утверждение 5: Наименьшее значение функции y = 15
Данное утверждение верно, поскольку значение функции y = 2(x-5)2 + 15 не может быть меньше 15, так как член 2(x-5)2 всегда положителен или равен нулю. Здесь значение 15 достигается, когда (x-5)2 = 0, то есть x = 5. Таким образом, наименьшее значение функции y равно 15.
Итак, из представленных утверждений верными являются утверждения 1, 3, 4 и 5.