Question

Найти стационарные точки функции
y=x^2-4x
y=2x^3-3x^2-12x+5

Answer 1

Для нахождения стационарных точек функции, необходимо найти значения x, при которых производная функции равна нулю.

Для функции y = x^2 - 4x:
1) Найдем производную функции по x:
y' = 2x - 4

2) Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
2x - 4 = 0
2x = 4
x = 2

Таким образом, получаем стационарную точку (2, y), где y рассчитывается подставлением найденного значения x в функцию:
y = (2)^2 - 4(2)
y = 4 - 8
y = -4

Следовательно, у функции y = x^2 - 4x имеется одна стационарная точка (2, -4).

Для функции y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5:
1) Найдем производную функции по x:
y' = 6x^2 - 6x - 12

2) Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
6x^2 - 6x - 12 = 0

Для упрощения, разделим все члены уравнения на 6:
x^2 - x - 2 = 0

Для решения квадратного уравнения, воспользуемся методом дискриминанта:
D = (-1)^2 - 4(1)(-2)
D = 1 + 8
D = 9

Имеем два корня уравнения:
x1 = (-(-1) + 3) / (2 * 1) = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2
x2 = (-(-1) - 3) / (2 * 1) = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1

Таким образом, получаем две стационарные точки (2, y) и (-1, y), где y рассчитывается подстановкой найденных значений x в функцию:
Для x = 2:
y = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 5
y = 2 * 8 - 3 * 4 - 24 + 5
y = 16 - 12 - 24 + 5
y = -15

Для x = -1:
y = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 5
y = 2 * (-1) - 3 * 1 + 12 + 5
y = -2 - 3 + 12 + 5
y = 12 + 5 - 2 - 3
y = 17

Следовательно, у функции y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 имеется две стационарные точки: (2, -15) и (-1, 17).