Question

ЗНАТОКИ НУЖНА. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции третьей степени y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d в указанном интервале.
​

Answer 1

a)

$\displaystyle f(x)=x^3-3x$

найдем производную

$\displaystyle f`(x)=(x^3-3x)`=3x^2-3=3(x^2-1)\\\\f`(x)=0; x^2-1=0; x= \pm 1$

Определим знаки производной

$\displaystyle f`(x)0; x \in (-oo;-1) (1;+oo)\\\\f`(x)$

тогда х= -1 точка мах; х=1 точка мин.

На интервале [0;2]

наименьшее значение функции в точке минимума х=1

$\displaystyle f(1)=1-3=-2$

наибольшее значение либо в точке х=0 или в точке х=2

проверим

$\displaystyle f(0)=0\\\\f(2)=8-6=2$

тогда максимальное значение равно 2 в точке х=2

с)

$\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+x$

найдем производную

$\displaystyle f`(x)=\frac{3x^2}{3}-2x+1=x^2-2x+1=(x-1)^2\\\\f`(x)=0; x=1$

Определим знаки производной

$\displaystyle f`(x) 0; x \in (-oo;1) (1;+oo)$

значит функция f(x) возрастающая

тогда минимальной значение будет в точке х= -1

$\displaystyle f(-1)= \frac{-1}{3}-1-1=-2\frac{1}{3}$

тогда максимальное значение будет в точке х=2

$\displaystyle f(2)=\frac{8}{3}-4+2=\frac{8}{3}-\frac{6}{3}=\frac{2}{3}$