1) Найди дискриминант квадратного уравнения 8x²+4x+12=0.
D = b² - 4ac = 16 - 4·8·12 = 16 - 384 = -368.
2) Найди корни квадратного уравнения x²+7x+12=0.
По т., обратной к т. Виетта, имеем х₁ = -4; x₂ = -3.
3) Реши квадратное уравнение 2(5x−15)²−7(5x−15)+6=0.
Рациональным будет метод введения новой переменной.
Пусть 5x−15 = t, тогда имеем:
2t²−7t+6=0; D = b² - 4ac = 49 - 4·2·6 = 49 - 48 = 1; √D = 1
t₁ = (7 + 1)/4 = 2; t₂ = (7 - 1)/4 = 1,5.
Возвращаемся к замене:
5x−15 =2; 5x = 2 + 15; 5x = 17; x = 17/5; x₁ = 3,4.
5x−15 = 1,5; 5x = 1,5 + 15; 5x = 16,5; x = 16,5/5; x₂ = 3,3.
ответ: 3,4; 3,3.
4)Найди корни уравнения −8,9(x−2,1)(x−31)=0.
x−2,1 = 0 или x−31 = 0.
х₁ = 2,1 х₂ = 31.
ответ: 2,1; 31.
5) Сократи дробь (x−4)²/(x²+2x−24) = (x−4)²/((x + 6)(x − 4)) = (х - 4)/(х + 6).
Полученная дробь: (х - 4)/(х + 6).
6)Сократи дробь (5x²−32x+12)/(x³−216).
5x²−32x+12 = 0; D = b² - 4ac = 1024 - 480 = 784; √D = 28.
x₁ = (32 + 28)/10 = 6; x₂ = (32 - 28)/10 = 0,4
Имеем: (5x²−32x+12)/(x³−216) = ((x - 6)(5x - 2))/((x - 6)(x² + 6x + 36)) =
= (5x - 2)/(x² + 6x + 36).
7) Разложи на множители квадратный трехчлен x² + 8x + 15.
x² + 8x + 15 = 0; x₁ = -3; x₂ = -5.
имеем, x² + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5).
Можно решить по схеме Горнера.
Обозначим левую часть как y(x) = x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 4x + 12
Если уравнение имеет рациональный корень x = m/n, то
m = делитель свободного члена (12), n - делитель старшего члена (1).
Возможные корни: x = +-1; +-2; +-3; +-4; +-6; +-12
y(-4) = 256 - 2*64 - 7*16 + 4*4 + 12 = 256 - 128 - 112 + 16 + 12 = 44 > 0
y(-3) = 81 - 2*27 - 7*9 + 4*3 + 12 = 81 - 54 - 63 + 12 + 12 = -12 < 0
x1 ∈ (-4; -3) - иррациональный
y(-2) = 16 - 2*8 - 7*4 + 4*2 + 12 = 16 - 16 - 28 + 8 + 12 = -8 < 0
y(-1) = 1 - 2 - 7 + 4 + 12 = 8 > 0
x2 ∈ (-2; -1) - иррациональный
y(1) = 1 + 2 - 7 - 4 + 12 = 4 > 0
y(2) = 16 + 2*8 - 7*4 - 4*2 + 12 = 16 + 16 - 28 - 8 + 12 = 8 > 0
Все остальные значения будут положительными, значит корней всего 2.
Можно уточнить корни:
y(-3,4) = (3,4)^4 - 2(3,4)^3 - 7(3,4)^2 + 4*3,4 + 12 = -0,2944 ≈ 0
x1 ≈ -3,4
y(-1,5) = (1,5)^4 - 2(1,5)^3 - 7(1,5)^2 + 4*1,5 + 12 = 0,5625 > 0
y(-1,6) = (1,6)^4 - 2(1,6)^3 - 7(1,6)^2 + 4*1,6 + 12 = -1,1584 < 0
x2 ≈ -1,5
Вольфрам Альфа показывает, что x1 = -3,4066; x2 = -1,5329