В данном случае функция [y=f(x)] есть переменная величина, зависящая от другой переменной величины (аргумента x). Каждому значению x [D(f) - область определения функции] соответствует какое-то значение функции y [E(f) - область значения функции].
D(f) = подкоренное выражение больше или равно 0.
4x / (5+3x) больше или равно нулю;
найдем множество решений неравенства. Для этого заменим его на равносильное неравенство 4x * (5+3x) больше или равно нулю.
Отметим на координатной прямой точки, в которых левая часть обращается в ноль. Получим три промежутка. В крайнем правом промежутке стоит знак "+", далее знаки чередуются. В кавычках обозначены знаки промежутков:
"+" проколатая точка (-5/3) "-" закрашенная точка [0] "+"
В итоге x принадлежит промежутку (- бесконечность;-5/3) U [0; +бесконечность).
D(f) = (- бесконечность;-5/3) U [0; +бесконечность).
Функция, область определения которую мы ищем, это корень квадратный, который имеет смысл тогда, когда подкоренное выражение больше или равно нулю. Подкоренным выражением является дробь.
(4-х)/(5+3х) больше или равно нулю
(4-х)/3(5/3+х) больше или равно нулю
Рисуем ось х. На ней отмечаем точки, в которых функция обращается в ноль, т.е. 4 и -3/5, причём точку 4 заштриховываем, а точку -3/5 незаштриховываем, т.к. знаменатель не должен обращаться в ноль.
Теперь, после того, как расставлены точки, считаем знаки функции в полученных интервалах. Получаем чередование "-", "+", "-". Нам надо выбрать интервал со знаком "+", т.к. наша дробь больше или равна нулю. Это интервал открытый от -3/5 до 4 закрытый.
Итак, область определения функции - это все х, принадлежащие полученному интервалу.