Прежде чем выполнить прологарифмирование, давайте вспомним, что такое логарифм. Логарифм это инверсия возведения в степень. То есть логарифм в основании "а" от числа "b" равен степени, в которую нужно возвести "а", чтобы получить "b". Обозначим это математическим символом:
logₐ(b) = c <=> a^c = b
Теперь применим это к нашим выражениям:
а) Прологарифмируем число 729 по основанию 3:
log₃(729) = c
Мы ищем степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 729. Мы знаем, что 3^6 = 729, поэтому
log₃(729) = 6
б) Прологарифмируем число 5/6 по основанию 3:
log₃(5/6) = c
Мы ищем степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 5/6. Из предыдущего примера мы знаем, что 3^6 = 729, поэтому 729/729 = 1, и 5/6 = 5/(6 * 729/729) = 5/6 * 1 = 5/6 * 729/729 = (5 * 729)/(6 * 729) = 3645/4374.
logₐ(b) = c <=> a^c = b
Теперь применим это к нашим выражениям:
а) Прологарифмируем число 729 по основанию 3:
log₃(729) = c
Мы ищем степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 729. Мы знаем, что 3^6 = 729, поэтому
log₃(729) = 6
б) Прологарифмируем число 5/6 по основанию 3:
log₃(5/6) = c
Мы ищем степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 5/6. Из предыдущего примера мы знаем, что 3^6 = 729, поэтому 729/729 = 1, и 5/6 = 5/(6 * 729/729) = 5/6 * 1 = 5/6 * 729/729 = (5 * 729)/(6 * 729) = 3645/4374.
Теперь мы можем записать:
log₃(5/6) = log₃(3645/4374)
Давайте упростим это выражение:
log₃(3645/4374) = log₃(729 * 5/ (729 * 6)) = log₃(729 * 5)/log₃(729 * 6) = (log₃(729) + log₃(5))/(log₃(729) + log₃(6))
Из предыдущего примера мы знаем, что log₃(729) = 6, поэтому:
log₃(5/6) = (6 + log₃(5))/(6 + log₃(6))
в) Прологарифмируем число 1/333 по основанию 3:
log₃(1/333) = c
Мы ищем степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 1/333. Мы знаем, что 1/333 можно упростить:
1/333 = 1/(3 * 111) = 1/(3 * 3 * 37) = 1/(3^2 * 37)
Теперь мы можем записать:
log₃(1/333) = log₃(1/(3^2 * 37))
Давайте упростим это выражение:
log₃(1/(3^2 * 37)) = log₃(1)/log₃(3^2 * 37) = log₃(1)/(log₃(3^2) + log₃(37))
Из предыдущего примера мы знаем, что log₃(1) = 0 и log₃(3^2) = 2, поэтому:
log₃(1/333) = 0/(2 + log₃(37)) = 0/(2 + log₃(37))
г) Прологарифмируем число ³√72 по основанию 3:
log₃(³√72) = c
Мы ищем степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить ³√72. Мы знаем, что ³√72 = 3^(1/3) * 3^(log₃(72)) = 3^(1/3) * 3^(log₃(3^2 * 2)) = 3^(1/3) * 3^(log₃(3^2) + log₃(2)) = 3^(1/3) * 3^(2 + log₃(2)) = 3^(1/3) * 3^2 * 3^(log₃(2)) = 3^(1/3) * 9 * 3^(log₃(2))
Теперь мы можем записать:
log₃(³√72) = log₃(3^(1/3) * 9 * 3^(log₃(2)))
Давайте упростим это выражение:
log₃(3^(1/3) * 9 * 3^(log₃(2))) = log₃(3^(1/3))/log₃(3^(log₃(2))) + log₃(9)/log₃(3) = 1/3 * log₃(3)/(log₃(2)) + log₃(9)/1 = 1/3 * 1/log₃(2) + 2/1 = 1/(3 * log₃(2)) + 2
д) Прологарифмируем число 2 по основанию 3:
log₃(2) = c
Мы ищем степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 2. Мы знаем, что 3^1 = 3, поэтому:
log₃(2) = 1
Итак, проведя прологарифмирование выражений по заданному основанию 3, мы получаем следующие результаты:
а) log₃(729) = 6
б) log₃(5/6) = (6 + log₃(5))/(6 + log₃(6))
в) log₃(1/333) = 0/(2 + log₃(37))
г) log₃(³√72) = 1/(3 * log₃(2)) + 2
д) log₃(2) = 1