Question

Сумма трех чисел, составляющих прогрессию, равна 14. если от первого числа отнять 15, а второе и третье увеличить соответственно на 11 и 5, то полученные три числа составят арифметическую прогрессию. найдите исходные три числа.

Answer 1

Геометрическая прогрессия, сумма трех членов равна 14

b1 + b1*q + b1*q^2 = 14      (1)

Арифметическая прогрессия

b1 - 15 = a1                         (2)

b1*q + 11 = a2 = a1 + d        (3)

b1*q^2 + 5 = a3 = a1 + 2d  (4)

Получили 4 уравнения с 4 неизвестными, сложим (2), (3) и (4).

b1 - 15 + b1*q + 11 + b1*q^2 + 5 = a1 + a1 + d + a1 + 2d

Подставим (1)

14 - 15 + 11 + 5 = 3a1 + 3d

3a1 + 3d = 15

a1 + d = 5 - это 2 член арифметической прогрессии.

a1 = 5 - d = b1 - 15

b1 = 20 - d

q = (a1 + d - 11)/b1 = (5 - d + d - 11)/(20 - d) = -6/(20 - d)

Подставляем в (1)

(20 - d)*(1 - 6/(20-d) + 36/(20-d)^2) = 14

20 - d - 6 + 36/(20-d) = 14

(14-d)(20-d) + 36 = 14(20-d)

280 - 20d - 14d + d^2 + 36 = 280 - 14d

d^2 - 20d + 36 = 0

D = 20^2 - 4*36 = 400 - 144 = 256 = 16^2

1) d(1) = (20 - 16)/2 = 4/2 = 2

Здесь и далее (1) и (2) это порядковые номера решений.

b1(1) = 20 - d = 20 - 2 = 18

a1(1) = 5 - d = 5 - 2 = 3

q(1) = -6/(20-d) = -6/18 = -1/3

Это числа 18, -6, 2

2) d(2) = (20 + 16)/2 = 36/2 = 18

b1(2) = 20 - d = 20 - 18 = 2

a1(2) = 5 - d = 5 - 18 = -13

q(2) = -6/(20-d) = -6/(20-18) = -6/2 = -3

Это числа 2, -6, 18

ответ: 1) 18, -6, 2; 2) 2, -6, 18