Клумба прямоугольной формы окружена дорожкой, ширина которой 1м. Площадь дорожки 26 м в квадрате. Найдите стороны клумбы, если одна из них на 5 м больше другой
Решение: по теореме пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы пусть х - наш искомый катет, то второй катет будет х-7, а гипотенуза х+1 составим уравнение: х²+(х-7)² = (х+1)² х²+х²-14х+49 = х²+2х+1 2х²-14х+49 = х²+2х+1 х²-16х+48 = 0
найдем дискриминант квадратного уравнения:
d = b² - 4ac = (-16)² - 4·1·48 = 256 - 192 = 64
так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:
х₁ = 4, х₂ = 12
12² + (12-7)² = 13² - проверяем
144 + 25 = 169 и 13² = 169 13 больше 12 на 1, а 12 больше 5 на 7
Int (x^2+2x-1)*cos 3x dx = Int x^2*cos 3x dx + 2*Int x*cos 3x dx - Int cos 3x dx = A Решаем каждый интеграл по отдельности. Первый - 2 раза по частям. Int x^2*cos 3x dx = 1/9*Int (3x)^2*cos 3x dx = |3x = y, dy = 3dx| = = 1/27*Int y^2*cos y dy = |u=y^2, dv=cos y dy, du = 2y dy, v=sin y| = = 1/27*(y^2*sin y - 2*Int y*sin y dy) = |u=y, dv=sin y, du=dy, v=-cos y| = = 1/27*y^2*sin y - 2/27*(-y*cos y + Int cos y dy) = = y^2/27*sin y + 2y/27*cos y - 2/27*sin y = x^2/3*sin 3x + 2x/9*cos 3x - 2/27*sin 3x
Int x*cos 3x dx берется точно также, только один раз по частям. Int x*cos 3x dx = |y = 3x| = 1/9*Int y*cos y dy = |u=y, dv=cos y, du=dy, v=sin y| = 1/9*(y*sin y - Int sin y dy) = x/3*sin 3x + 1/9*cos 3x
Int cos 3x dx = 1/3*sin 3x Подставляем все это в интеграл A = x^2/3*sin 3x+2x/9*cos 3x-2/27*sin 3x+2x/3*sin 3x+2/9*cos 3x-1/3*sin 3x+C = = sin 3x*(x^2/3 + 2x/3 - 2/27 - 1/3) + cos x*(2x/9 + 2/9) + C = = 1/3*sin 3x*(x^2 + 2x + 1) + x/9*cos x*(2x + 2) - 2/27*sin 3x + C
найдем дискриминант квадратного уравнения:
d = b² - 4ac = (-16)² - 4·1·48 = 256 - 192 = 64
так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:
х₁ = 4, х₂ = 12
12² + (12-7)² = 13² - проверяем
144 + 25 = 169 и 13² = 169 13 больше 12 на 1, а 12 больше 5 на 7