Question

Найди экстремумы и схематически изобрази график функции y=10x^2e^x. Запиши значения точек экстремума (при необходимости результат округли до десятых (e=2,7). Укажи промежутки возрастания

Answer 1

Для нахождения экстремумов функции y=10x^2e^x необходимо использовать производную функции.

1. Найдем производную функции y=10x^2e^x по переменной x:

y' = d/dx (10x^2e^x)
= 20xe^x + 10x^2e^x

2. Производная y' показывает нам, как функция меняется при изменении x. Найдем значения x, при которых производная равна нулю. Для этого решим уравнение 20xe^x + 10x^2e^x = 0:

0 = x(20e^x + 10xe^x)

Из этого уравнения следует, что x = 0 является одним из значений, а также 20e^x + 10xe^x = 0. Для нахождения других значений x необходимо решить уравнение 20e^x + 10xe^x = 0 численно. Получим, что x ≈ -2,18.

3. Подставим найденные значения x в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:

При x = 0:
y(0) = 10*0^2e^0
= 0

При x ≈ -2,18:
y(-2.18) = 10*(-2.18)^2e^(-2.18)
≈ 60.96

Таким образом, точки экстремума функции y=10x^2e^x имеют координаты (0, 0) и (-2.18, 60.96) (если округлить значения до десятых).

4. Для определения промежутков возрастания и убывания функции, можно использовать знаки производной. Заметим, что производная y' отрицательна при x < -2.18 и положительна при x > -2.18.

Таким образом, промежутки возрастания функции y=10x^2e^x:
-бесконечность < x < -2.18 и x > -2.18

Теперь давайте построим схематический график функции:

|
|
|
| /
| /
| /
| /
| /
|_____/_______
x

На графике будут две точки экстремума: (0, 0) и (-2.18, 60.96).

Надеюсь, ответ понятен! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать!