Давайте рассмотрим каждое утверждение поочередно и посмотрим, верно или неверно оно.
1. Верно. В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Доказательство: рассмотрим ABCD - произвольный прямоугольник. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Пусть AB = CD = a, BC = AD = b. Прямоугольник ABCD прямоугольный и равнобедренный, поэтому AO = OC = a/2 и BO = OD = b/2. Треугольник AOB также прямоугольный и равнобедренный, поэтому угол AOB = 90 градусов.
2. Верно. Существует квадрат, который не является ромбом. Доказательство: квадрат - это специальный случай ромба, где все стороны равны и все углы прямые. Ромб же может иметь ромбическую форму (не иметь прямых углов).
3. Верно. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Доказательство: рассмотрим квадрат ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По доказанному выше утверждению, они содержат два прямоугольных треугольника ABO и BCO со сторонами AO = OC и BO = OD. Значит, треугольники ABO и BCO равны по гипотенузе и катету, следовательно, угол AOB = 90 градусов.
4. Верно. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°. Доказательство: сумма углов в любом выпуклом четырехугольнике равна 360°, так как каждый угол разделяет пространство на две части. Однако в четырехугольнике есть одна неправильная вершина, то есть угол больше 180 градусов. Значит, сумма всех углов четырехугольника равна 360° - угол больше 180°, что равно 180°.
5. Верно. Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°. Доказательство: в параллелограмме противоположные углы равны. Если один из углов равен 60°, то противоположный угол тоже равен 60°. Значит, противоположный угол равен 120°.
6. Верно. Диагонали квадрата делят его углы пополам. Доказательство: рассмотрим квадрат ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По доказанному выше утверждению, они содержат два прямоугольных треугольника ABO и BCO со сторонами AO = OC и BO = OD. Значит, треугольники ABO и BCO равны по гипотенузе и катету, следовательно, углы ABO и BCO равны.
7. Верно. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Доказательство: в параллелограмме противоположные стороны равны. Если две стороны четырехугольника равны, это означает, что он может быть разделен на два параллелограмма, каждый из которых имеет равные стороны. Значит, данный четырехугольник - параллелограмм.
8. Верно. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Доказательство: в прямоугольнике диагонали равны. Параллелограмм, в котором диагонали равны, может быть разделен на два равных треугольника. Это возможно только в случае прямоугольника.
9. Верно. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм является ромбом. Доказательство: рассмотрим параллелограмм ABCD, в котором диагонали AC и BD делят его углы пополам. Пусть OA = OC и OB = OD. Тогда по утверждению 6, диагонали AC и BD перпендикулярны. Также, по утверждению 3, диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Значит, параллелограмм ABCD - это ромб.
10. Верно. Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50°. Доказательство: в параллелограмме противоположные углы равны, а смежные углы с прилежащими сторонами дополняют друг друга до 180 градусов. Значит, если у одного из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, угол равен 50°, то другой угол тоже равен 50°.
11. Верно. Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°. Доказательство: сумма углов в выпуклом четырехугольнике равна 360°. Если сумма трех углов равна 200°, то четвертый угол равен 360° - 200° = 160°.
12. Верно. Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры. Доказательство: если две фигуры имеют одинаковую площадь, это означает, что можно совместить одну фигуру с другой без перекрытия или накладывания. Таким образом, фигуры равны.
Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать систему уравнений. Даны два уравнения: a+b=10 и a+c=12. Нам нужно найти значения выражений 2a+b+c и b-с.
а) Чтобы найти значение выражения 2a+b+c, мы можем использовать данные из двух уравнений. Давайте приступим к его решению:
Из первого уравнения a+b=10 мы можем выразить b, вычтя a из обеих сторон:
b = 10 - a
Теперь вставим это значение b во второе уравнение a+c=12:
a + c = 12
Заменим b на 10 - a:
a + (10 - a) + c = 12
Теперь упростим это выражение:
10 + c = 12
Отнимем 10 от обеих сторон:
c = 12 - 10
c = 2
Теперь мы знаем, что c = 2. Вернемся к первому уравнению a+b=10:
a+b = 10
Подставим найденное значение b = 10 - a:
a + (10 - a) = 10
a + 10 - a = 10
10 = 10
Таким образом, у нас есть два уравнения:
a = a
c = 2
Чтобы найти 2a+b+c, мы можем подставить найденные значения обратно в выражение:
2a + b + c = 2a + (10 - a) + c
Теперь подставим a = a и c = 2:
2a + (10 - a) + 2 = 2a + 10 - a + 2
Упростим это выражение:
2a - a + 10 + 2 = a + 12
Уберем скобки:
a + 12 = a + 12
Таким образом, значение 2a+b+c равно 12.
б) Чтобы найти значение выражения b-с, мы можем использовать найденные значения a и c:
b - c = (10 - a) - c
(так как мы найдем значение b с использованием первого уравнения)
Теперь подставим a=2 и c=2:
(10 - 2) - 2 = 8 - 2 = 6
1. Верно. В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Доказательство: рассмотрим ABCD - произвольный прямоугольник. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Пусть AB = CD = a, BC = AD = b. Прямоугольник ABCD прямоугольный и равнобедренный, поэтому AO = OC = a/2 и BO = OD = b/2. Треугольник AOB также прямоугольный и равнобедренный, поэтому угол AOB = 90 градусов.
2. Верно. Существует квадрат, который не является ромбом. Доказательство: квадрат - это специальный случай ромба, где все стороны равны и все углы прямые. Ромб же может иметь ромбическую форму (не иметь прямых углов).
3. Верно. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Доказательство: рассмотрим квадрат ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По доказанному выше утверждению, они содержат два прямоугольных треугольника ABO и BCO со сторонами AO = OC и BO = OD. Значит, треугольники ABO и BCO равны по гипотенузе и катету, следовательно, угол AOB = 90 градусов.
4. Верно. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°. Доказательство: сумма углов в любом выпуклом четырехугольнике равна 360°, так как каждый угол разделяет пространство на две части. Однако в четырехугольнике есть одна неправильная вершина, то есть угол больше 180 градусов. Значит, сумма всех углов четырехугольника равна 360° - угол больше 180°, что равно 180°.
5. Верно. Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°. Доказательство: в параллелограмме противоположные углы равны. Если один из углов равен 60°, то противоположный угол тоже равен 60°. Значит, противоположный угол равен 120°.
6. Верно. Диагонали квадрата делят его углы пополам. Доказательство: рассмотрим квадрат ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По доказанному выше утверждению, они содержат два прямоугольных треугольника ABO и BCO со сторонами AO = OC и BO = OD. Значит, треугольники ABO и BCO равны по гипотенузе и катету, следовательно, углы ABO и BCO равны.
7. Верно. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Доказательство: в параллелограмме противоположные стороны равны. Если две стороны четырехугольника равны, это означает, что он может быть разделен на два параллелограмма, каждый из которых имеет равные стороны. Значит, данный четырехугольник - параллелограмм.
8. Верно. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Доказательство: в прямоугольнике диагонали равны. Параллелограмм, в котором диагонали равны, может быть разделен на два равных треугольника. Это возможно только в случае прямоугольника.
9. Верно. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм является ромбом. Доказательство: рассмотрим параллелограмм ABCD, в котором диагонали AC и BD делят его углы пополам. Пусть OA = OC и OB = OD. Тогда по утверждению 6, диагонали AC и BD перпендикулярны. Также, по утверждению 3, диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Значит, параллелограмм ABCD - это ромб.
10. Верно. Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50°. Доказательство: в параллелограмме противоположные углы равны, а смежные углы с прилежащими сторонами дополняют друг друга до 180 градусов. Значит, если у одного из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, угол равен 50°, то другой угол тоже равен 50°.
11. Верно. Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°. Доказательство: сумма углов в выпуклом четырехугольнике равна 360°. Если сумма трех углов равна 200°, то четвертый угол равен 360° - 200° = 160°.
12. Верно. Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры. Доказательство: если две фигуры имеют одинаковую площадь, это означает, что можно совместить одну фигуру с другой без перекрытия или накладывания. Таким образом, фигуры равны.
13. В