Question

В задачах дана функция Z=F(x, у). Найти полный дифференциал dz.
C подробным решение

Answer 1

Полный дифференциал функции - это следующее выражение dz = (∂f/∂x)*dx + (∂f/∂y)*dy, где dx и dy - дифференциалы переменных х и у (обычно под ними подразумеваются приращения соответствующих переменных), но для записи их оставляют в неизменном виде).

Если предполодить, что в знаменателе дроби в квадрат возводится только у, то частные производные функции z(x,y) будут иметь следующий вид:

∂f/∂x = (y*(x + y^2) - xy*1) / (x + y^2)^2 = (xy + y^3 - xy) / (x + y^2)^2 = y^3 / (x + y^2)^2  

∂f/∂y = (x*(x + y^2) - xy*2y) / (x + y^2)^2 = (x^2 + xy^2 - 2xy^2) / (x + y^2)^2 = (x^2 - xy^2) / (x + y^2)^2 =

= x*(x - y^2) / (x + y^2)^2

Общий вид полного дифференциала будет выглядеть так:

dz = (y^3 / (x + y^2)^2) * dx + (x*(x - y^2) / (x + y^2)^2) * dy

Для вычисления полного дифференциала в конкретных точках (х1; у1) и (х2; у2), следует подставить координаты этих точек в это выражение вместо х и у и найти соответствующие выражения. Но можно поступить проще - найти только частные производные в этих точках:

∂f/∂x (1; 1,1) = 1,1^3 / (1 + 1,1^2)^2 = 1,331 / (1 + 1,21)^2 = 1,331 / 2,21^2 = 1,331 / 4,8841 = 0,2725

∂f/∂y (1; 1,1) = 1*(1 - 1,1^2) / (1 + 1,1^2)^2 = (1 - 1,21) / 4,8841 = -0,21 / 4,8841 = -0,043

∂f/∂x (2; 1,8) = 1,8^3 / (2 + 1,8^2)^2 = 5,832 / (2 + 3,24)^2 = 5,832 / 5,24^2 = 5,832 / 27,4576 = 0,2124

∂f/∂y (2; 1,8) = (2*(2 - 1,8^2) / (2 + 1,8^2)^2 = 2*(2 - 3,24) / 27,4576 = 2*(-1,24) / 27,4576 = -2,48 * 27,4576 = -0,0903

Тогда выражения для полного дифференциала будут иметь вид:

dz(1; 1,1) = 0,2725dx - 0,043dy

dz(2; 1,8) = 0,2124dx - 0,0903dy

Непонятно, почему в вузах требуют решения столь трудоёмких механических задач.

Скорее всего, задание должно звучать так: найти приближённое значение функции z(x,y) в точках (х1; у1) и (х2; у2).

В этом случае задача решается проще и приятнее: ищутся полные дифференциалы функции в точках, близких к заданному.

Например, близкой к первой точке является точка (1; 1).  

Частные производные в ней будут иметь вид:

∂f/∂x (1;1) = 1^3 / (1 + 1^2)^2 = 1 / 2^2 = 1 / 4 = 0,25

∂f/∂y (1;1) = 1*(1 - 1^2) / (1 + 1^2)^2 = 1*0 / (1 + 1^2)^2 = 0

Тогда

dz (1;1) = 0,25dx

Вместо dx подставляем приращение ∆х = 1 - 1 = 0, т.е. dz (1;1) = 0

Приближённое значение функции z(x,y) в точке (x1, y1) отыскивается по формуле:

z(x1, y1) = z(x0, y0) + dz(x0, y0),

где (x0; y0) - точка, близкая к точке (х1; у1), dx = x1 - x0; dy = y1 - y0

Т.е. z(x1; y1) ≈ z(x0; y0) = z(1; 1) = 1*1 / (1 + 1^2) = 1/2 = 0,5.

Близкой к точке (2; 1,8) является точка (2; 2).  

Частные производные в ней будут иметь вид:

∂f/∂x (2;2) = 2^3 / (2 + 2^2)^2 = 8 / 6^2 = 8 / 36 = 2 / 9

∂f/∂y (2;2) = 2*(2 - 2^2) / (2 + 2^2)^2 = 2*(-2) / 36 = -4 / 36 = -1 / 9

Тогда

dz (2;2) = (2 / 9)dx - (1 / 9)dy

Вместо dx и dy подставляем приращение ∆х = 2 - 2 = 0, ∆y = 2 - 1,8 = 0,2,

Т.е. dz = -0,2/9 = -2/90 = -1/45

z(2 ; 2) = 2*2 / (2 + 2^2) = 4/6 = 2/3

z(x2; y2) ≈ z(2; 2) - 2/90 = 2/3 - 1/45 = 30/45 - 1/45 = 29/45