Question

Пусть 0<a<π/2. определите четверть, в которой лежит точка, полученная поворотом точки P(1;0) на угол:
1)π/2-а
2)а-π
3)3π/2-а
4)π/2+а
5)а-π/2
6)π-а​​

Answer 1

Для решения этой задачи, нам нужно проверить, в какой четверти будет лежать точка после поворота на данный угол.

Дано: 0 < a < π/2
Точка P(1,0) находится на положительной полуоси абсцисс, т.е. на оси Ox.

1) Для угла π/2 - a:
Получаем новые координаты точки P' после поворота с использованием формул поворота точки вокруг начала координат:
x' = x*cos(a) - y*sin(a) = 1*cos(π/2 - a) - 0*sin(π/2 - a) = sin(a)
y' = x*sin(a) + y*cos(a) = 1*sin(π/2 - a) + 0*cos(π/2 - a) = cos(a)
Таким образом, новые координаты точки P' равны (sin(a), cos(a)).

Теперь будем анализировать полученные координаты:
x = sin(a) > 0, т.к. 0 < a < π/2, значит x > 0.
y = cos(a) > 0, т.к. 0 < a < π/2, значит y > 0.
Таким образом, точка P' лежит в первой четверти (I).

2) Для угла a - π:
Получаем новые координаты точки P' после поворота:
x' = x*cos(a) - y*sin(a) = 1*cos(a - π) - 0*sin(a - π) = -cos(a)
y' = x*sin(a) + y*cos(a) = 1*sin(a - π) + 0*cos(a - π) = -sin(a)
Таким образом, новые координаты точки P' равны (-cos(a), -sin(a)).

Анализируем полученные координаты:
x = -cos(a) < 0, т.к. 0 < a < π/2, значит x < 0.
y = -sin(a) < 0, т.к. 0 < a < π/2, значит y < 0.
Таким образом, точка P' лежит в третьей четверти (III).

Аналогичным образом можем решить остальные пункты:

3) Для угла 3π/2 - a:
Получаем новые координаты точки P' после поворота:
x' = x*cos(a) - y*sin(a) = 1*cos(3π/2 - a) - 0*sin(3π/2 - a) = -sin(a)
y' = x*sin(a) + y*cos(a) = 1*sin(3π/2 - a) + 0*cos(3π/2 - a) = -cos(a)
Анализируем полученные координаты:
x = -sin(a) < 0, т.к. 0 < a < π/2, значит x < 0.
y = -cos(a) < 0, т.к. 0 < a < π/2, значит y < 0.
Таким образом, точка P' лежит в третьей четверти (III).

4) Для угла π/2 + a:
Получаем новые координаты точки P' после поворота:
x' = x*cos(a) - y*sin(a) = 1*cos(π/2 + a) - 0*sin(π/2 + a) = -cos(a)
y' = x*sin(a) + y*cos(a) = 1*sin(π/2 + a) + 0*cos(π/2 + a) = sin(a)
Анализируем полученные координаты:
x = -cos(a) < 0, т.к. 0 < a < π/2, значит x < 0.
y = sin(a) > 0, т.к. 0 < a < π/2, значит y > 0.
Таким образом, точка P' лежит во второй четверти (II).

5) Для угла a - π/2:
Получаем новые координаты точки P' после поворота:
x' = x*cos(a) - y*sin(a) = 1*cos(a - π/2) - 0*sin(a - π/2) = -sin(a)
y' = x*sin(a) + y*cos(a) = 1*sin(a - π/2) + 0*cos(a - π/2) = cos(a)
Анализируем полученные координаты:
x = -sin(a) < 0, т.к. 0 < a < π/2, значит x < 0.
y = cos(a) > 0, т.к. 0 < a < π/2, значит y > 0.
Таким образом, точка P' лежит во второй четверти (II).

6) Для угла π - a:
Получаем новые координаты точки P' после поворота:
x' = x*cos(a) - y*sin(a) = 1*cos(π - a) - 0*sin(π - a) = -cos(a)
y' = x*sin(a) + y*cos(a) = 1*sin(π - a) + 0*cos(π - a) = -sin(a)
Анализируем полученные координаты:
x = -cos(a) < 0, т.к. 0 < a < π/2, значит x < 0.
y = -sin(a) < 0, т.к. 0 < a < π/2, значит y < 0.
Таким образом, точка P' лежит в третьей четверти (III).

Итак, мы решили все пункты задачи, и каждый раз объясняли на каком основании приняли соответствующее решение.