Question

Три числа являются последовательными членами арифметической прогрессии.сумма их равна 33, а произведение 1287.найти эти числа

Answer 1

1) 9;11;13. 2) 13;11;9.

Объяснение:

Пусть  последовательные члены арифметической прогрессии это x,y и z.

Тогда воспользуемся условием и характеристическим свойством арифметической прогрессии   ( $a{_{n-1}} +a{_{n+1}}= 2a{_n}$)  и составим систему уравнений:

$\left \{\begin{array}{lcl} { {x+y+z =33,} \\ {xyz=1287,} \\ {x+z = 2y;} }\end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{lcl} { {y+2y = 33,} \\ {xyz=1287,} \\ {x+z = 2y;} }\end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{lcl} { {y = 11,} \\ {11xz=1287 } \\ {x+z = 22;} }\end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{lcl} { {y = 11,} \\ {xz=117,} \\ {x+z = 22;} }\end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{lcl} { {y = 11, \\ {22x-x^{2} =117,} \\ {z = 22-x;} }\end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{lcl} { {y= 11,} \\ {x^{2}-22x+117=0,} \\ {z = 22-x.} }\end{array} \right.$

Решим квадратное уравнение :

$x^{2} -22x+117=0;\\D{_1} =121-117=40 ;\\\left [ \begin{array}{lcl} {{x=9,} \\ {x=13.}} \end{array} \right.$

Если x=9, то z=22-9=13;

Если x=13 , то z=22-13=9 .

Тогда получим  первые три числа 9; 11 и 13 и вторые 13;11 и 9.

Answer 2

Три числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. Сумма их равна 33, а произведение 1287. Найти эти числа.

Запишем условие удобным для решения образом:

$a_{1} -$ первое число из 3-х в арифметической прогрессии

$a_2 = a_1+d$ - второе число

$a_3=a_1+2d$ - третье число

Значит, их сумма равна:

$S = a_1+a_1+d+a_1+2d=3a_1+3d$

Зная, что $3a_1+3d=33$ ⇒ $a_1+d=11$

А произведение:

$P = a_1(a_1+d)(a_1+2d)$

Зная, что оно равно 1287 можем составить систему уравнений. Для удобства вычислений заменим $a_1$ на x. Имеем:

$\left \{ {{x+d=11} \atop {x(x+d)(x+2d)=1287}} \right.$

$\left \{ {{x=11-d} \atop {x(x+d)(x+2d)=1287}} \right.$

(11-d)(11-d+d)(11-d+2d)=1287

(11-d)*11(11+d)=1287

(121-d²)*11=1287

1331-11d²=1287

-11d²=-44

d²=4

d=+-2

Уже ясно, что вариантов ответа будет 2:

Первый вариант:

1) В том случае, если d = 2, имеем:

$a_1=11 -d =11-2=9$

$a_2=a_1+d=9+2=11$

$a_3=a_1+2d=9+4=13$

Имеем: 9; 11; 13

Второй вариант:

2) В том случае, если d = -2, имеем:

$a_1=11-d=11-(-2) =13$

$a_2=a_1+d=13+(-2)=11$

$a_3=a_1+2d=13+2(-2)=9$

Имеем: 13; 11; 9

ответ: 9; 11; 13 и 13; 11; 9