(x^4 - 2x^3 + x^2)/(x^2 + x - 2) - (2x^3 + x^2 + x - 1)/(x + 2) <= 1.
Вынесем x^2 в числителе первой дроби:
x^2(x^2 - 2х + 1)/(x^2 + x - 2) - (2x^3 + x^2 + x - 1)/(x + 2) <= 1.
Разложим на множители x^2 - 2х + 1: по теореме Виета х1 + х2 = 2; х1 * х2 = 1. Корни равны 1 и 1. Получается x^2 - 2х + 1 = (х - 1)^2.
Разложим на множители x^2 + x - 2: по теореме Виета х1 + х2 = -1; х1 * х2 = -2. Корни равны -2 и 1. Получается x^2 + x - 2 = (х - 1)(х + 2).
Неравенство приобретает вид x^2(х - 1)^2/(х - 1)(х + 2) - (2x^3 + x^2 + x - 1)/(x + 2) <= 1.
Скобка (х - 1) сокращается, получается x^2(х - 1)/(х + 2) - (2x^3 + x^2 + x - 1)/(x + 2) <= 1.
Приводим к общему знаменателю: (x^2(х - 1) - (2x^3 + x^2 + x - 1))/(x + 2) <= 1;
(x^3 - х^2 - 2x^3 - x^2 - x + 1)/(x + 2) <= 1;
(-x^3 - 2х^2 - x + 1)/(x + 2) <= 1.
Переносим 1 в левую часть и приводим к общему знаменателю:
(-x^3 - 2х^2 - x + 1)/(x + 2) - 1 <= 0;
(-x^3 - 2х^2 - x + 1 - х - 2)/(x + 2) <= 0;
(-x^3 - 2х^2 - 2x - 1)/(x + 2) <= 0.
Вынесем (-1) из числителя и умножим неравенство на (-1):
-(x^3 + 2х^2 + 2x + 1)/(x + 2) <= 0;
(x^3 + 2х^2 + 2x + 1)/(x + 2) >= 0.
Разложим знаменатель на множители:
x^3 + 2х^2 + 2x + 1 = (x^3 + 1) + (2х^2 + 2x) = (х + 1)(х^2 - х + 1) + 2х(х + 1) = (х + 1)(х^2 - х + 1 + 2х) = (х + 1)(х^2 + х + 1).
Получается неравенство (х + 1)(х^2 + х + 1)/(x + 2) >= 0.
Решим неравенство методом интервалов:
Найдем корни неравенства:
х + 1 = 0; х = -1.
х^2 + х + 1 = 0; D = 1 - 4 = -3 (нет корней).
х + 2 = 0; х = -2.
Расставляем знаки неравенства: (+) -2 (-) -1 (+).
Так как неравенство имеет знак >= 0, то решением неравенства будут промежутки (-∞; -2] и [-1; +∞).
(x^4 - 2x^3 + x^2)/(x^2 + x - 2) - (2x^3 + x^2 + x - 1)/(x + 2) <= 1.
Вынесем x^2 в числителе первой дроби:
x^2(x^2 - 2х + 1)/(x^2 + x - 2) - (2x^3 + x^2 + x - 1)/(x + 2) <= 1.
Разложим на множители x^2 - 2х + 1: по теореме Виета х1 + х2 = 2; х1 * х2 = 1. Корни равны 1 и 1. Получается x^2 - 2х + 1 = (х - 1)^2.
Разложим на множители x^2 + x - 2: по теореме Виета х1 + х2 = -1; х1 * х2 = -2. Корни равны -2 и 1. Получается x^2 + x - 2 = (х - 1)(х + 2).
Неравенство приобретает вид x^2(х - 1)^2/(х - 1)(х + 2) - (2x^3 + x^2 + x - 1)/(x + 2) <= 1.
Скобка (х - 1) сокращается, получается x^2(х - 1)/(х + 2) - (2x^3 + x^2 + x - 1)/(x + 2) <= 1.
Приводим к общему знаменателю: (x^2(х - 1) - (2x^3 + x^2 + x - 1))/(x + 2) <= 1;
(x^3 - х^2 - 2x^3 - x^2 - x + 1)/(x + 2) <= 1;
(-x^3 - 2х^2 - x + 1)/(x + 2) <= 1.
Переносим 1 в левую часть и приводим к общему знаменателю:
(-x^3 - 2х^2 - x + 1)/(x + 2) - 1 <= 0;
(-x^3 - 2х^2 - x + 1 - х - 2)/(x + 2) <= 0;
(-x^3 - 2х^2 - 2x - 1)/(x + 2) <= 0.
Вынесем (-1) из числителя и умножим неравенство на (-1):
-(x^3 + 2х^2 + 2x + 1)/(x + 2) <= 0;
(x^3 + 2х^2 + 2x + 1)/(x + 2) >= 0.
Разложим знаменатель на множители:
x^3 + 2х^2 + 2x + 1 = (x^3 + 1) + (2х^2 + 2x) = (х + 1)(х^2 - х + 1) + 2х(х + 1) = (х + 1)(х^2 - х + 1 + 2х) = (х + 1)(х^2 + х + 1).
Получается неравенство (х + 1)(х^2 + х + 1)/(x + 2) >= 0.
Решим неравенство методом интервалов:
Найдем корни неравенства:
х + 1 = 0; х = -1.
х^2 + х + 1 = 0; D = 1 - 4 = -3 (нет корней).
х + 2 = 0; х = -2.
Расставляем знаки неравенства: (+) -2 (-) -1 (+).
Так как неравенство имеет знак >= 0, то решением неравенства будут промежутки (-∞; -2] и [-1; +∞).