Question

Если tg(a+пи/4)=-1/3, то значение ctg2a

Answer 1

Преобразуем левую часть по формуле тангенса суммы

$\tan\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tan\alpha+\tan\frac{\pi}{4}}{1-\tan\alpha*\tan\frac{\pi}{4}}=\frac{\tan\alpha+1}{1-\tan\alpha*1}=\frac{\tan\alpha+1}{1-\tan\alpha}$

Теперь подставим в формулу

$\frac{\tan\alpha+1}{1-\tan\alpha}=-\frac{1}{3}$

Помножим обе части на $3*(1-\tan\alpha)$

Получим

$3(\tan\alpha+1)=-(1-\tan\alpha)$

$3\tan\alpha+3=-1+\tan\alpha$

$2\tan\alpha=-4$

$\tan\alpha=-2$

По формуле двойного угла

$\tan(2\alpha)=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$

$\tan(2\alpha)=\frac{2*(-2)}{1-(-2)^2}$

$\tan(2\alpha)=\frac{-4}{1-4}$

$\tan(2\alpha)=\frac{4}{3}$

$\cot(2\alpha)=\frac{1}{\tan(2\alpha)}$

$\cot(2\alpha)=\frac{1}{\frac{4}{3}}$

$\cot(2\alpha)=\frac{3}{4}$

ответ: $\cot(2\alpha)=\frac{3}{4}$

Answer 2

tg(a+пи/4)=-1/3

1) tg(a+пи/4)= (tga + tg pi/4) / (1-tga*tg(pi/4)) = (tga+1) / (1-tga) = -1/3

 (tga+1) / (1-tga) = -1/3

2tga = -4

tga = -4/2 = -2 ⇒ ctga = -1/2

ctg^2a = (-1/2)^2 = 1/4

2) ctg2a = (ctg^2a - 1)/ 2ctga = (1/4 -1)/(2*(-1/2) = (-3/4) ÷ (-1) = 3/4 = 0,75

0,75