Предположим противоположное, что 
- является рациональным числом, тогда его можно записать в виде несократимой дроби 
, где P,Q - некоторые целые числа
так как P, Q, 11 - целые, то Р делится на 11, а значит его можно записать в виде
P=11k, где k - некоторое действительное число
так как P, Q, 11 - целые, то Q делится на 11, что невозможно у P и Q нет общих делителей кроме 1 или -1. Пришли к противоречию.
Значит корень из 11 не является рациональным числом, т.е. корень из 11 является иррациональным числом. Доказано
Возможно, решается так.
Пусть скорость работы мастера равна 8v работы в день
Скорость работы ученика равна 3v работы в день. Когда они вместе работают над заказом, то получается, что за 7 дней они ее всю выполняют.
(8v+3v)*7=77v - это вся работа.
Из второго предложения
8v*4 это работа мастера. Пусть ученик работал t дней. Тогда работа ученика 3v*t, работа должна получится вся вместе в сумме равной 77v.
32v+3vt=77v
3vt=77v-32v
3vt=45v
Поделим обе части на 3.
vt=15v
Теперь сократим на коэффициент v.
t=15. Значит за 15 дней заканчивает работу ученик.
ответ: 15 дней.