Question

Исследовать функцию на монотонность f(x)=x×e^x

Answer 1

$f(x)=xe^x$

функция определена на всей действительной оси

Ищем производную

$f'(x)=(xe^x)'=(x)'e^x+x*(e^x)'=1*e^x+xe^x=e^x(x+1)$

Ищем критические точки

$f'(x)=0;e^x(x+1)=0;e^x0;x+1=0;x=-1$

при $x-1$:$f'(x)0$

при $x<-1$:$f'(x)<0$

значит т. х=-1 - т.локального минимума, при х  є $(-\infty;-1)$ функция убывает

при х  є $(-1;-\infty)$ функция возростает

Answer 2

$\\f(x)=xe^x\\ f'(x)=e^x+xe^x\\ f'(x)=e^x(x+1)\\ e^x(x+1)=0\\ x=-1\\ \forall_{x\in(-1,\infty)}f'(x)0\Rightarrow f(x)\nearrow\forall_{x\in(-1,\infty)}\\ \forall_{x\in(-\infty,-1)}f'(x)<0\Rightarrow f(x)\searrow\forall_{x\in(-\infty,-1)}\\$