Question

Найдите область определения функции f(x)=√log по основанию 3 от (2x+6) - log по основанию 3 от (4x-4). 1.(1; 5] ; 5] ; 1) ∞; 5] ∞; -3) решение как можно подробнее

Answer 1

Я понимаю так. Функция вида

$f(x)=\sqrt{\log_3(2x+6)-\log_3(4x-4)}$

Во-первых, выражение под логарифмом должно быть строго положительным. Это касается обоих логарифмов. Во-вторых, подкоренное выражение не должно быть отрицательным. Запишем это в виде системы

$\begin{cases} 2x+60,\\4x-40,\\ \log_3(2x+6)-\log_3(4x-4)\geqslant0. \end{cases}$

В первом и втором неравенствах перенесем свободные члены вправо. В третьем неравенстве второй логарифм перенесем вправо

$\begin{cases} 2x-6,\\4x4,\\ \log_3(2x+6)\geqslant\log_3(4x-4). \end{cases}$

Первое неравенство делим на 2, второе неравенство делим на 4. Третье неравенство потенцируем (избавляемся от логарифма, получаем выражение под логарифмом) с сохранением знака, так как основание логарифма 3>1.

$\begin{cases} x-3,\\x1,\\ 2x+6\geqslant 4x-4.\end{cases}$

Первое неравенство можно убрать, так как второе неравенство требует от переменной х более строгого условия, а именно х>1. Записываем более простую систему неравенств

$\begin{cases}x1,\\ 2x+6\geqslant 4x-4.\end{cases}$

Теперь во втором неравенстве переносим неизвестные члены вправо,а свободные члены влево.

$\begin{cases}x1,\\ 6+4\geqslant 4x-2x.\end{cases}$

Упрощаем второе неравенство  системы, приведя подобные

$\begin{cases}x1,\\ 10\geqslant 2x.\end{cases}$

Делим на 2 второе неравенство системы

$\begin{cases}x1,\\ 5\geqslant x.\end{cases}$

Или

$\begin{cases}x1,\\ x\leqslant 5 \end{cases}.$

То есть $x\in(1,\,5]$

ответ: 1-й вариант, $x\in(1,\,5]$