Question

В походе участвуют 7 мальчиков и 10 девочек. Сколькими различными учитель может выбрать команду из 4 человек для ночного дежурства, если в команде должно быть хотя бы два мальчика? Решай последовательно:
1. двух мальчиков и двух девочек можно выбрать .
2. трёх мальчиков и одну девочку можно выбрать .
3. четырёх мальчиков можно выбрать .

Всего для дежурства можно выбрать ___ команд.

Answer 1

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику и применить формулу для комбинаций. Для ее применения нам потребуется знать количество элементов, из которых мы выбираем, и количество элементов, которые мы выбираем.

1. Для первого случая, когда в команде должно быть два мальчика и две девочки, мы сначала выбираем двух мальчиков из семи и двух девочек из десяти. Это можно сделать следующим образом:
C(7, 2) * C(10, 2) = (7!)/(2!(7-2)!) * (10!)/(2!(10-2)!)

C(7, 2) означает количество способов выбрать 2 мальчиков из 7, а C(10, 2) означает количество способов выбрать 2 девочки из 10.

Расчеты:
C(7, 2) = (7!)/(2!(7-2)!) = (7 * 6)/(2 * 1) = 21
C(10, 2) = (10!)/(2!(10-2)!) = (10 * 9)/(2 * 1) = 45

Подставляем значения:
21 * 45 = 945

Получаем, что можно выбрать 945 различных команд с двумя мальчиками и двумя девочками для ночного дежурства.

2. Для второго случая, когда в команде должно быть трое мальчиков и одна девочка, мы выбираем трех мальчиков из семи и одну девочку из десяти. Расчеты будут аналогичны первому случаю:
C(7, 3) * C(10, 1) = (7!)/(3!(7-3)!) * (10!)/(1!(10-1)!)

Расчеты:
C(7, 3) = (7!)/(3!(7-3)!) = (7 * 6 * 5)/(3 * 2 * 1) = 35
C(10, 1) = (10!)/(1!(10-1)!) = 10

Подставляем значения:
35 * 10 = 350

Получаем, что можно выбрать 350 различных команд с тремя мальчиками и одной девочкой для ночного дежурства.

3. В третьем случае в команде должно быть четыре мальчика. Поскольку у нас есть только 7 мальчиков, то это значит, что можно выбрать все 7 мальчиков для команды.
C(7, 4) = (7!)/(4!(7-4)!) = (7 * 6 * 5 * 4)/(4 * 3 * 2 * 1) = 35

Мы можем выбрать 35 различных команд с четырьмя мальчиками для ночного дежурства.

Теперь, чтобы получить общее количество различных команд для дежурства, мы просто суммируем количество команд из каждого случая:
Общее количество команд = количество команд с двумя мальчиками и двумя девочками + количество команд с тремя мальчиками и одной девочкой + количество команд с четырьмя мальчиками

Общее количество команд = 945 + 350 + 35 = 1330

Итак, мы можем выбрать 1330 различных команд из 4 человек для ночного дежурства, учитывая условие, что в команде должно быть хотя бы два мальчика.